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Équations et inéquations

Résolution, ensemble solution, représentation

🔬 Application physique-chimie : Résolution d'équations horaires du mouvement, calcul de seuils de tension ou d'intensité en électricité

Une équation fixe une condition d'égalité : on cherche toutes les valeurs de $x$ qui la rendent vraie. Une inéquation fixe une condition d'ordre : la solution est un intervalle, pas un point isolé.

Les deux se résolvent par les mêmes opérations — avec une différence cruciale : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
Intuition : si $-x < 3$ , alors $x > -3$ .

En physique, les inéquations apparaissent dans les conditions de validité des modèles : une distance est positive, une probabilité reste entre $0$ et $1$ .

Règle d'or : toujours vérifier la solution en la substituant dans l'expression de départ.

📖 Vocabulaire clé

Équation : Égalité comportant une inconnue

x

. Résoudre une équation, c'est trouver la (ou les) valeur(s) de

x

qui rendent l'égalité vraie.

Exemple :

2x + 3 = 7

a pour solution

x = 2

Inéquation : Inégalité comportant une inconnue

x

(avec

<

>

\leq

\geq

). La solution est généralement un intervalle de valeurs, pas un nombre unique.

Exemple :

x + 1 > 3

a pour solution

x > 2

Solution : Valeur de l'inconnue qui rend l'équation ou l'inéquation vraie. Pour une équation du 1er degré, il y a en général une seule solution ; pour une inéquation, c'est un ensemble de valeurs.

Intervalle : Ensemble de nombres compris entre deux bornes. Notation :

[2\,;\,5]

(bornes incluses),

]2\,;\,5[

(bornes exclues),

]-\infty\,;\,3[

(tous les nombres inférieurs à

3

📋 Méthode en 4 étapes

1 Étape 1 : Développer et réduire les deux membres de l'équation ou inéquation.
2 Étape 2 : Regrouper les termes en $x$ d'un côté, les constantes de l'autre.
3 Étape 3 : Isoler $x$ en divisant par le coefficient de $x$ .
Attention : si ce coefficient est négatif, inverser le sens de l'inégalité.
4 Étape 4 : Vérifier en substituant la solution trouvée dans l'expression de départ.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Résoudre l'inéquation

3(x - 2) > 2x + 1

Démarche :

Développer le membre de gauche : $3x - 6 > 2x + 1$ .
Regrouper : on soustrait $2x$ des deux côtés : $x - 6 > 1$ , puis on ajoute $6$ : $x > 7$ .
Vérification : pour $x = 10$ : $3(10-2) = 24$ et $2(10)+1 = 21$ , or $24 > 21$ ✓. Pour $x = 5$ : $3(5-2) = 9$ et $2(5)+1 = 11$ , or $9 \not> 11$ ✓ (hors solution).

Réponse :

x > 7

, soit

x \in ]7\,;\,+\infty[

📐 Formules clés

ax = b

x = \dfrac{b}{a}

(avec

a \neq 0

)

Inéquation : si

a < 0

ax < b

, alors

x > \dfrac{b}{a}

(sens inversé !)

Notation intervalle :

x > 2 \Leftrightarrow x \in ]2 ; +\infty[

🎨 Illustration

Droite graduée

L'ensemble solution de 3(x − 2) > 2x + 1

La solution de l'inéquation résolue dans l'exemple du cours ( $x > 7$ ) représentée sur une droite graduée : cercle non rempli en $7$ (borne exclue) et zone hachurée vers $+\infty$ .

1 Le cercle est ouvert (non rempli) en $7$ car l'inégalité est stricte ( $>$ ) : $7$ lui-même n'est pas solution.
2 Les hachures et la flèche s'étendent vers la droite ( $+\infty$ ) car $x$ doit être strictement plus grand que $7$ .
3 Notation : $x \in\, ]7\,;\,+\infty[$ — le crochet est tourné vers l'extérieur car la borne $7$ est exclue.

Ce qu'il faut lire : Repère le cercle non rempli en

7

: il signale une borne exclue. La zone hachurée à sa droite représente toutes les valeurs solutions.

Ensemble solution de l'inéquation

3(x-2) > 2x+1

résolue dans l'exemple du cours, soit

x \in\, ]7\,;\,+\infty[

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

multiplier ou diviser une inéquation par un nombre NÉGATIF inverse le sens !

✅ La suggestion

$-2x < 6 \Rightarrow x > -3$ (pas $x < -3$ ). C'est la différence clé entre équation et inéquation.

💡 À retenir

Principe de la balance : on effectue la même opération des deux côtés de l'égalité (ou inégalité) pour isoler $x$ .
Inversion du sens : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. C'est LA différence majeure entre équation et inéquation.
Vérification : toujours substituer la solution trouvée dans l'expression initiale pour confirmer le résultat.
Notation intervalle : $x > a$ s'écrit $x \in ]a\,;\,+\infty[$ , $x \leq a$ s'écrit $x \in ]-\infty\,;\,a]$ . Les crochets sont tournés vers l'extérieur pour les bornes exclues.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Résolution d'équations horaires du mouvement, calcul de seuils de tension ou d'intensité en électricité

Mots-clés associés : ÉquationInéquationInconnueSolutionIntervalle

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