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Équations et inéquations

Résolution, ensemble solution, représentation

🔬 Application physique-chimie : Résolution d'équations horaires du mouvement, calcul de seuils de tension ou d'intensité en électricité
Tu veux t'abonner à une salle d'escalade. Deux formules sont affichées à l'entrée.

La formule A : 1212 € la séance, sans rien payer d'avance. La formule B : 6060 € de carte à l'année, puis 66 € la séance.

Laquelle est la moins chère ?

La question n'a pas de réponse. Pour trois séances, A coûte 3636 € et B en coûte 7878 : A gagne largement. Pour vingt séances, A coûte 240240 € et B seulement 180180 € : B gagne largement. Aucune des deux formules n'est toujours la meilleure, et aucun coup d'œil au tarif ne dit à partir de quand la seconde prend l'avantage.

Ce moment de bascule, on ne le devine pas : on le calcule. Les deux formules coûtent pareil quand 12x=60+6x12x = 60 + 6x, c'est-à-dire quand 6x=606x = 60, donc pour x=10x = 10 séances. Voilà le seuil.

Mais savoir où les deux prix se croisent ne suffit pas encore : ce que tu veux savoir, c'est de quel côté tu te trouves. « À partir de combien de séances B devient-elle plus avantageuse ? » ne se répond pas par un nombre isolé, mais par 12x>60+6x12x > 60 + 6x, donc x>10x > 10 : toutes les valeurs au-delà de 1010 conviennent.

Tu tiens là les deux outils du chapitre. Une équation fixe une condition d'égalité : on cherche les valeurs de xx qui la rendent vraie, et il y en a en général une poignée. Une inéquation fixe une condition d'ordre : la solution est un intervalle tout entier, pas un point isolé.

Les deux se résolvent par les mêmes opérations — avec une différence cruciale : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
Intuition : si −x<3-x < 3, alors x>−3x > -3.

En physique, les inéquations apparaissent dans les conditions de validité des modèles : une distance est positive, une probabilité reste entre 00 et 11.

Règle d'or : toujours vérifier la solution en la substituant dans l'expression de départ.

📖 Vocabulaire clé

Équation : Égalité comportant une inconnue xx. Résoudre une équation, c'est trouver la (ou les) valeur(s) de xx qui rendent l'égalité vraie.

Exemple : 2x+3=72x + 3 = 7 a pour solution x=2x = 2.
Inéquation : Inégalité comportant une inconnue xx (avec <<, >>, ≤\leq ou ≥\geq). La solution est généralement un intervalle de valeurs, pas un nombre unique.

Exemple : x+1>3x + 1 > 3 a pour solution x>2x > 2.
Solution : Valeur de l'inconnue qui rend l'équation ou l'inéquation vraie. Pour une équation du 1er degré, il y a en général une seule solution ; pour une inéquation, c'est un ensemble de valeurs.
Intervalle : Ensemble de nombres compris entre deux bornes. Notation : [2 ; 5][2\,;\,5] (bornes incluses), ]2 ; 5[]2\,;\,5[ (bornes exclues), ]−∞ ; 3[]-\infty\,;\,3[ (tous les nombres inférieurs à 33).

📋 Méthode en 4 étapes

  1. 1 Étape 1 : Développer et réduire les deux membres de l'équation ou inéquation.
  2. 2 Étape 2 : Regrouper les termes en xx d'un côté, les constantes de l'autre.
  3. 3 Étape 3 : Isoler xx en divisant par le coefficient de xx.
    Attention : si ce coefficient est négatif, inverser le sens de l'inégalité.
  4. 4 Étape 4 : Vérifier en substituant la solution trouvée dans l'expression de départ.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Résoudre l'inéquation 3(x−2)>2x+13(x - 2) > 2x + 1.
Démarche :
  1. Développer le membre de gauche : 3x−6>2x+13x - 6 > 2x + 1.
  2. Regrouper : on soustrait 2x2x des deux côtés : x−6>1x - 6 > 1, puis on ajoute 66 : x>7x > 7.
  3. Vérification : pour x=10x = 10 : 3(10−2)=243(10-2) = 24 et 2(10)+1=212(10)+1 = 21, or 24>2124 > 21 ✓. Pour x=5x = 5 : 3(5−2)=93(5-2) = 9 et 2(5)+1=112(5)+1 = 11, or 9≯119 \not> 11 ✓ (hors solution).
Réponse : x>7x > 7, soit x∈]7 ; +∞[x \in ]7\,;\,+\infty[.

📐 Formules clés

Si ax=bax = b : x=bax = \dfrac{b}{a} (avec a≠0a \neq 0)
Inéquation : si a<0a < 0 et ax<bax < b, alors x>bax > \dfrac{b}{a} (sens inversé !)
Notation intervalle : x>2⇔x∈]2;+∞[x > 2 \Leftrightarrow x \in ]2 ; +\infty[

🎨 Illustrations

Droite graduée
L'ensemble solution de 3(x − 2) > 2x + 1

La solution de l'inéquation résolue dans l'exemple du cours (x>7x > 7) représentée sur une droite graduée : cercle non rempli en 77 (borne exclue) et zone hachurée vers +∞+\infty.

Droite graduée : ensemble solution de l'inéquation Droite graduee de 4 a 10, avec un cercle non rempli au point 7 car l'inegalite est stricte, et une portion hachuree partant de 7 vers la droite jusqu'a plus l'infini, representant l'ensemble des solutions x strictement superieur a 7. 4 5 6 7 8 9 10 x > 7 +∞ x
  • 1 Le cercle est ouvert (non rempli) en 77 car l'inégalité est stricte (>>) : 77 lui-même n'est pas solution.
  • 2 Les hachures et la flèche s'étendent vers la droite (+∞+\infty) car xx doit être strictement plus grand que 77.
  • 3 Notation : x∈ ]7 ; +∞[x \in\, ]7\,;\,+\infty[ — le crochet est tourné vers l'extérieur car la borne 77 est exclue.
Ce qu'il faut lire : Repère le cercle non rempli en 77 : il signale une borne exclue. La zone hachurée à sa droite représente toutes les valeurs solutions.
Ensemble solution de l'inéquation 3(x−2)>2x+13(x-2) > 2x+1 résolue dans l'exemple du cours, soit x∈ ]7 ; +∞[x \in\, ]7\,;\,+\infty[.
Pourquoi le sens s'inverse
Multiplier par un nombre négatif retourne la droite graduée

La règle n'est pas un caprice : elle se voit. En haut, 22 est à gauche de 55, donc 2<52 < 5. En bas, on a multiplié les deux par −1-1 — et les deux nombres ont changé de côté. Celui qui était le plus petit est maintenant le plus grand.

Deux nombres avant et apres multiplication par moins un Deux droites graduees identiques sont tracees l'une au-dessus de l'autre, avec le zero au meme endroit et le meme pas. Sur celle du haut sont marques les nombres deux et cinq, tous deux a droite du zero, deux etant le plus proche du zero : deux est donc a gauche de cinq et deux est plus petit que cinq. Sur celle du bas sont marques les nombres moins deux et moins cinq, obtenus en multipliant les precedents par moins un ; ils sont tous deux a gauche du zero, a la meme distance du zero que leurs correspondants du haut mais de l'autre cote. Moins cinq est desormais a gauche de moins deux, si bien que moins deux est le plus grand des deux. L'ordre des deux nombres a ete echange par la multiplication. avant 0 2 5 2 est à gauche de 5 après 0 -2 -5 -5 est à gauche de -2 2 plus petit que 5 devient -2 plus grand que -5
  • 1 Multiplier par −1-1, c'est envoyer chaque nombre de l'autre côté de zéro, à la même distance. Les deux traits obliques suivent ce déplacement.
  • 2 Le 55, qui était le plus éloigné de zéro à droite, devient le plus éloigné à gauche — donc le plus petit. C'est cela, et rien d'autre, qui retourne l'inégalité.
  • 3 La règle complète : ajouter ou soustraire ne change jamais le sens (on décale les deux nombres du même côté). Multiplier ou diviser par un positif ne le change pas non plus. Seul un facteur négatif le retourne.
  • 4 Et si tu as un doute au contrôle : teste une valeur. −2x<6-2x < 6 avec x=−5x = -5 donne 10<610 < 6, ce qui est faux ; donc −5-5 n'est pas solution, donc la réponse n'est pas x<−3x < -3 mais x>−3x > -3.
Ce qu'il faut lire : Compare les deux droites graduées : le zéro est au même endroit et le pas est le même. Seule la position des deux points a changé, et elle a changé de telle façon que leur ordre est échangé.
Les nombres 22 et 55 multipliés par −1-1 : le retournement autour de zéro échange leur ordre, ce qui inverse le sens de l'inégalité.
Le crochet
Le crochet dit si la borne fait partie des solutions

Deux inéquations qui ne diffèrent que par un trait sous le symbole. La borne est la même, l'ensemble est presque le même — et pourtant 33 appartient à l'un et pas à l'autre. C'est tout ce que code le sens du crochet.

Borne exclue et borne incluse sur la meme valeur Deux droites graduees identiques sont tracees l'une sous l'autre, graduees de zero a six, avec la valeur trois au meme endroit sur les deux. Sur celle du haut, qui represente les nombres strictement superieurs a trois, un cercle vide est place en trois et un trait epais part de trois vers la droite : la valeur trois elle-meme n'appartient pas aux solutions. Sur celle du bas, qui represente les nombres superieurs ou egaux a trois, un cercle plein est place en trois et le meme trait epais part de trois vers la droite : cette fois la valeur trois appartient aux solutions. Les deux ensembles ne different que par ce seul point. x supérieur à 3 2 3 4 3 est exclu x supérieur ou égal à 3 2 3 4 3 est inclus le crochet se tourne vers ce qui est pris
  • 1 Le cercle vide se lit « je m'arrête juste après » : la borne est exclue, et l'intervalle s'écrit ]3 ; +∞[]3\,;\,+\infty[.
  • 2 Le cercle plein se lit « je pars de là, celui-ci compris » : la borne est incluse, et l'intervalle s'écrit [3 ; +∞[[3\,;\,+\infty[.
  • 3 Le moyen sûr de ne pas hésiter : le crochet s'ouvre vers les nombres que tu gardes. Vers +∞+\infty il est donc toujours ouvert, puisqu'on ne peut pas atteindre l'infini.
  • 4 Et le lien avec le symbole : une barre sous l'inégalité (≤\leq, ≥\geq) veut dire « ou égal », donc borne incluse, donc cercle plein et crochet fermé. Sans barre (<<, >>), tout l'inverse.
  • 5 Le contrôle qui sauve : remplace xx par la borne elle-même dans l'inéquation de départ. Si tu obtiens quelque chose de vrai, la borne est dedans.
Ce qu'il faut lire : Les deux droites sont identiques, le trait épais part du même endroit. Ne regarde que le cercle posé sur le 33 : vide, la valeur est dehors ; plein, elle est dedans.
Les ensembles x>3x > 3 et x≥3x \geq 3 sur la même droite graduée : seul le cercle posé sur la borne les distingue.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

multiplier ou diviser une inéquation par un nombre NÉGATIF inverse le sens !

✅ La suggestion

−2x<6⇒x>−3-2x < 6 \Rightarrow x > -3 (pas x<−3x < -3). C'est la différence clé entre équation et inéquation.

💡 À retenir

  • Principe de la balance : on effectue la même opération des deux côtés de l'égalité (ou inégalité) pour isoler xx.
  • Inversion du sens : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. C'est LA différence majeure entre équation et inéquation.
  • Vérification : toujours substituer la solution trouvée dans l'expression initiale pour confirmer le résultat.
  • Notation intervalle : x>ax > a s'écrit x∈]a ; +∞[x \in ]a\,;\,+\infty[, x≤ax \leq a s'écrit x∈]−∞ ; a]x \in ]-\infty\,;\,a]. Les crochets sont tournés vers l'extérieur pour les bornes exclues.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Résolution d'équations horaires du mouvement, calcul de seuils de tension ou d'intensité en électricité

Mots-clés associés : ÉquationInéquationInconnueSolutionIntervalle
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