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Fonctions – notions de base

Image, antécédent, représentation graphique

🔬 Application physique-chimie : Lecture de graphiques physiques : évolution de la température, distance parcourue en fonction du temps

Une fonction est une règle qui associe à chaque valeur d'entrée $x$ une valeur de sortie $f(x)$ — et une seule. C'est la « machine déterministe » des mathématiques : une même entrée donne toujours la même sortie.

L'image de $x$ est la valeur obtenue $f(x)$ . L'antécédent de $y$ est la (ou les) valeur(s) $x$ telles que $f(x) = y$ . Un antécédent peut ne pas exister, ou être multiple : pour $f(x) = x^2$ , le nombre $9$ a deux antécédents ( $3$ et $-3$ ).

Graphiquement : l'image se lit sur l'axe vertical (ordonnée) ; l'antécédent se lit sur l'axe horizontal (abscisse).

En physique, toutes les formules ( $v = d/t$ , $U = RI$ ) sont des fonctions de variables — la notion est universelle.

📖 Vocabulaire clé

Fonction : Règle qui associe à chaque valeur

x

d'un ensemble de départ une unique valeur

f(x)

dans l'ensemble d'arrivée. On note

f : x \mapsto f(x)

Image : La valeur

f(a)

obtenue en remplaçant

x

par

a

dans l'expression de

f

. On dit que

f(a)

est l'image de $a$ par

f

Antécédent : Un nombre

a

tel que

f(a) = b

. On dit que

a

est un antécédent de $b$ par

f

. Il peut y en avoir

0

1

ou plusieurs.

Domaine de définition : Ensemble des valeurs de

x

pour lesquelles

f(x)

existe. Par exemple,

f(x) = \dfrac{1}{x}

n'est pas définie pour

x = 0

📋 Méthode en 3 étapes

1 Calculer une image : remplacer $x$ par la valeur donnée dans l'expression de $f(x)$ .
Exemple : $f(x) = 2x + 1$ , image de $3$ : $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$ .
2 Trouver un antécédent : résoudre l'équation $f(x) = y$ , puis exprimer $x$ .
Exemple : antécédent de $7$ : $2x + 1 = 7 \Rightarrow x = 3$ .
3 Lire sur un graphe : image → lire l'ordonnée (axe vertical) ; antécédent → lire l'abscisse (axe horizontal).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Soit

f(x) = 2x^2 - 3

. Calculer l'image de

4

par

f

, puis trouver le(s) antécédent(s) de

5

par

f

Démarche :

Image de $4$ : on remplace $x$ par $4$ dans l'expression.
$f(4) = 2 \times 4^2 - 3 = 2 \times 16 - 3 = 32 - 3 = 29$ .
Antécédent(s) de $5$ : on résout $f(x) = 5$ .
$2x^2 - 3 = 5 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4$ .
Donc $x = 2$ ou $x = -2$ . Les deux antécédents de $5$ par $f$ sont $2$ et $-2$ .

Réponse :

f(4) = 29

; les antécédents de

5

sont

x = 2

x = -2

📐 Formules clés

f(x) =

expression en

x

(définition de la fonction)

Image de

a

: calculer

f(a)

Antécédent de

b

: résoudre

f(x) = b

Notation :

x \mapsto f(x)

(on lit «

x

a pour image

f(x)

»)

🎨 Illustration

Lecture graphique

Lire une image et des antécédents sur une courbe

Exemple visuel pour $f(x) = 2x^2 - 3$ . Les pointillés montrent comment lire $f(2) = 5$ et pourquoi $5$ admet deux antécédents.

1 On part de $x = 2$ sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée : $f(2) = 5$ .
2 La droite horizontale $y = 5$ coupe la courbe en deux points : les antécédents de $5$ sont donc $-2$ et $2$ .
3 Le sommet $(0 ; -3)$ aide à comprendre pourquoi la courbe redescend puis remonte : une même valeur de sortie peut avoir deux antécédents.

Ce qu'il faut lire : Pour une image, on part de

x

. Pour un antécédent, on part de la valeur

y

et on revient vers l’axe des abscisses.

Courbe de

f(x) = 2x^2 - 3

avec lecture guidée de l’image de

2

et des antécédents de

5

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

une fonction peut avoir plusieurs antécédents pour un même y, mais un seul image pour chaque x.

✅ La suggestion

Par exemple, $f(x) = x^2$ : $f(2) = 4$ et $f(-2) = 4$ , donc $4$ a deux antécédents ( $2$ et $-2$ ).

💡 À retenir

Une fonction associe à chaque entrée $x$ une seule sortie $f(x)$ — c'est la règle fondamentale.
L'image se lit sur l'axe des ordonnées : on part de $x$ , on monte jusqu'à la courbe, on lit $f(x)$ .
L'antécédent se trouve en résolvant $f(x) = y$ ; il peut y avoir $0$ , $1$ ou plusieurs solutions.
Sur un graphique, les antécédents de $y$ correspondent aux abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite $y = b$ .

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Lecture de graphiques physiques : évolution de la température, distance parcourue en fonction du temps

Mots-clés associés : FonctionImageAntécédentTableau de valeursCourbe

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