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Fonctions – notions de base

Image, antécédent, représentation graphique

🔬 Application physique-chimie : Lecture de graphiques physiques : évolution de la température, distance parcourue en fonction du temps
Un photographe imprime tes photos. Il facture 55 € de frais de dossier, puis 11 € par photo tirée.

Question simple : combien coûte ta commande ?

Impossible de répondre par un nombre. Pour 1212 photos, on paie 1717 € ; pour 3030 photos, 3535 € ; pour 100100 photos, 105105 €. Il n'y a pas un prix, il y a un prix par nombre de photos.

Ce qu'on peut donner, en revanche, c'est la règle : « prends le nombre de photos, ajoute 55 ». Cette règle-là répond à toutes les commandes d'un coup, y compris à celles qu'on n'a pas encore imaginées. C'est ce que les mathématiques appellent une fonction, et on l'écrit f(x)=x+5f(x) = x + 5.

Remarque maintenant que la question se pose dans les deux sens. « Combien pour 1212 photos ? » part du nombre de photos et cherche le prix : le prix est l'image de 1212. Mais « avec 2020 €, combien de photos puis-je faire tirer ? » part du prix et remonte vers le nombre de photos : on cherche alors un antécédent de 2020.

Ces deux lectures sont les deux seules choses que ce chapitre demande de savoir faire — et les confondre est l'erreur qui coûte le plus de points.

Une fonction associe donc à chaque valeur d'entrée xx une valeur de sortie f(x)f(x), et une seule : une même commande ne peut pas avoir deux prix. L'inverse, lui, est permis — deux entrées différentes peuvent très bien donner la même sortie.

Graphiquement : l'image se lit sur l'axe vertical (ordonnée), l'antécédent sur l'axe horizontal (abscisse).

En physique, toutes les formules (v=d/tv = d/t, U=RIU = RI) sont des fonctions de variables — la notion est universelle.

📖 Vocabulaire clé

Fonction : Règle qui associe à chaque valeur xx d'un ensemble de départ une unique valeur f(x)f(x) dans l'ensemble d'arrivée. On note f:x↦f(x)f : x \mapsto f(x).
Image : La valeur f(a)f(a) obtenue en remplaçant xx par aa dans l'expression de ff. On dit que f(a)f(a) est l'image de aa par ff.
Antécédent : Un nombre aa tel que f(a)=bf(a) = b. On dit que aa est un antécédent de bb par ff. Il peut y en avoir 00, 11 ou plusieurs.
Domaine de définition : Ensemble des valeurs de xx pour lesquelles f(x)f(x) existe. Par exemple, f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} n'est pas définie pour x=0x = 0.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Calculer une image : remplacer xx par la valeur donnée dans l'expression de f(x)f(x).
    Exemple : f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1, image de 33 : f(3)=2×3+1=7f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7.
  2. 2 Trouver un antécédent : résoudre l'équation f(x)=yf(x) = y, puis exprimer xx.
    Exemple : antécédent de 77 : 2x+1=7⇒x=32x + 1 = 7 \Rightarrow x = 3.
  3. 3 Lire sur un graphe : image → lire l'ordonnée (axe vertical) ; antécédent → lire l'abscisse (axe horizontal).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Soit f(x)=2x2−3f(x) = 2x^2 - 3. Calculer l'image de 44 par ff, puis trouver le(s) antécédent(s) de 55 par ff.
Démarche :
  1. Image de 44 : on remplace xx par 44 dans l'expression.
    f(4)=2×42−3=2×16−3=32−3=29f(4) = 2 \times 4^2 - 3 = 2 \times 16 - 3 = 32 - 3 = 29.
  2. Antécédent(s) de 55 : on résout f(x)=5f(x) = 5.
    2x2−3=5⇒2x2=8⇒x2=42x^2 - 3 = 5 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4.
  3. Donc x=2x = 2 ou x=−2x = -2. Les deux antécédents de 55 par ff sont 22 et −2-2.
Réponse : f(4)=29f(4) = 29 ; les antécédents de 55 sont x=2x = 2 et x=−2x = -2.

📐 Formules clés

f(x)=f(x) = expression en xx (définition de la fonction)
Image de aa : calculer f(a)f(a)
Antécédent de bb : résoudre f(x)=bf(x) = b
Notation : x↦f(x)x \mapsto f(x) (on lit « xx a pour image f(x)f(x) »)

🎨 Illustrations

Lecture graphique
Lire une image et des antécédents sur une courbe

Exemple visuel pour f(x)=2x2−3f(x) = 2x^2 - 3. Les pointillés montrent comment lire f(2)=5f(2) = 5 et pourquoi 55 admet deux antécédents.

Courbe de la fonction f(x)=2x²-3 Le graphique met en évidence l'image de 2, égale à 5, et les deux antécédents de 5 : -2 et 2. x f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 0 5 10 15 f(2) = 5 Sommet (0 ; -3) y = 5
  • 1 On part de x=2x = 2 sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée : f(2)=5f(2) = 5.
  • 2 La droite horizontale y=5y = 5 coupe la courbe en deux points : les antécédents de 55 sont donc −2-2 et 22.
  • 3 Le sommet (0;−3)(0 ; -3) aide à comprendre pourquoi la courbe redescend puis remonte : une même valeur de sortie peut avoir deux antécédents.
Ce qu'il faut lire : Pour une image, on part de xx. Pour un antécédent, on part de la valeur yy et on revient vers l’axe des abscisses.
Courbe de f(x)=2x2−3f(x) = 2x^2 - 3 avec lecture guidée de l’image de 22 et des antécédents de 55.
Piège
Une image se lit vers le haut, un antécédent vers le bas

Sur la courbe de f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1, les deux questions utilisent les mêmes points et les mêmes traits — seul le sens de parcours change. Chercher une image part de la graduation horizontale ; chercher un antécédent part de la graduation verticale.

Lecture d'une image et lecture d'un antecedent Une courbe en forme de vallee passe par le point le plus bas situe a l'abscisse zero et a l'ordonnee moins un, puis remonte des deux cotes. Une droite horizontale tracee a la hauteur trois coupe la courbe en deux points, l'un a l'abscisse moins deux et l'autre a l'abscisse deux. Deux traits verticaux descendent de ces deux points vers la graduation horizontale. En partant de l'abscisse deux et en montant jusqu'a la courbe on lit la hauteur trois, qui est l'image de deux ; en partant de la hauteur trois et en redescendant vers la graduation horizontale on trouve les deux abscisses moins deux et deux, qui sont les antecedents de trois. -2 2 0 3 x f(x) image de 2 antécédents de 3 deux antécédents, une seule image
  • 1 Chercher une image : tu pars de 22 sur la graduation horizontale, tu montes jusqu'à la courbe, tu lis 33 sur la graduation verticale. Une image est toujours unique.
  • 2 Chercher un antécédent : tu pars de 33 sur la graduation verticale, tu vas horizontalement jusqu'à la courbe, tu redescends. Ici tu trouves −2-2 et 22 : un nombre peut avoir plusieurs antécédents.
  • 3 C'est là que se joue toute la différence : f(2)=3f(2) = 3 se lit en montant, tandis que f(x)=3f(x) = 3 se résout en redescendant.
  • 4 Le contrôle qui sauve : demande-toi toujours ce qu'on te donne. Si on te donne un xx, la réponse est une image. Si on te donne une valeur de f(x)f(x), la réponse est un antécédent.
Ce qu'il faut lire : Suis les flèches du regard : pour une image tu montes, pour un antécédent tu redescends. Les traits sont les mêmes, le sens de parcours ne l'est pas.
Lecture de l'image de 22 et des deux antécédents de 33 sur la courbe de f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1.
Reconnaître une fonction
Le test de la droite verticale

Toute courbe ne représente pas une fonction. La règle est visuelle et tient en une phrase : si une droite verticale coupe la courbe en deux points ou plus, alors une même entrée aurait deux sorties — ce n'est pas une fonction.

Test de la droite verticale sur deux courbes A gauche, une courbe qui monte regulierement de la gauche vers la droite ; une droite verticale tracee en pointilles la coupe en un seul point, donc chaque entree possede une seule sortie et il s'agit bien d'une fonction. A droite, un cercle ; une droite verticale tracee au meme titre le coupe en deux points distincts, un en haut et un en bas, donc une meme entree donnerait deux sorties differentes et le cercle ne represente pas une fonction. une seule intersection c'est une fonction deux intersections ce n'est pas une fonction
  • 1 À gauche, où que tu places la droite verticale, elle ne rencontre la courbe qu'une fois : chaque entrée reçoit une sortie et une seule.
  • 2 À droite, la même droite verticale rencontre le cercle deux fois. La même entrée donnerait deux sorties différentes, ce qu'une fonction ne permet pas.
  • 3 Attention à ne pas confondre les deux sens : plusieurs antécédents pour une même image sont autorisés (c'est le cas de la vallée du schéma précédent), mais deux images pour un même nombre ne le sont jamais.
  • 4 C'est exactement pour cela que le test se fait avec une droite verticale, et non horizontale : la verticale interroge les sorties d'une même entrée.
Ce qu'il faut lire : Fais glisser une règle bien verticale sur chaque dessin. À gauche elle touche toujours un point ; à droite il existe des positions où elle en touche deux, et cela suffit à conclure.
Le test de la droite verticale : une intersection unique à gauche, deux intersections à droite.
Piège
Un antécédent ne se calcule pas, il se résout

Pour trouver l'antécédent de 1717 par f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2, beaucoup d'élèves appliquent la fonction au nombre donné et écrivent f(17)f(17). Le calcul est juste, mais il répond à une autre question.

Chercher un antecedent par une equation En haut, la demarche correcte : on pose l'equation trois x plus deux egale dix-sept, on retire deux des deux cotes pour obtenir trois x egale quinze, puis on divise par trois et on trouve x egale cinq ; la verification montre que trois fois cinq plus deux redonne bien dix-sept. En dessous, en trait tirete et en teinte plus faible, la demarche fautive : l'eleve applique la fonction au nombre donne et calcule trois fois dix-sept plus deux, ce qui donne cinquante-trois ; il a repondu a la question de l'image de dix-sept au lieu de la question de l'antecedent de dix-sept. antécédent de 17 : on résout une équation 3x + 2 = 17 donc 3x = 15 donc x = 5 contrôle : 3 × 5 + 2 = 17 la fonction appliquée au nombre donné 3 × 17 + 2 = 53 ceci répond à la question de l'image de 17
  • 1 Chercher une image, c'est remplacer : on connaît xx, on calcule f(x)f(x).
  • 2 Chercher un antécédent, c'est résoudre : on connaît f(x)f(x), on cherche xx. L'inconnue n'est plus au même endroit, et c'est pourquoi il faut une équation.
  • 3 Le calcul fautif ci-dessus n'a rien d'absurde : 3×17+2=533 \times 17 + 2 = 53 est exact. Il répond simplement à la question de l'image, alors qu'on demandait celle de l'antécédent.
  • 4 Le contrôle ferme le débat en une ligne : remplace ta réponse dans la fonction. Si tu retrouves le nombre de départ, l'antécédent est bon.
Ce qu'il faut lire : Compare les deux encadrés : les mêmes nombres, deux questions différentes. Celui du haut termine par une vérification, celui du bas n'en a aucune à proposer.
La recherche d'un antécédent par une équation, au-dessus, et le calcul d'image auquel on la confond, en dessous.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

une fonction peut avoir plusieurs antécédents pour un même y, mais un seul image pour chaque x.

✅ La suggestion

Par exemple, f(x)=x2f(x) = x^2 : f(2)=4f(2) = 4 et f(−2)=4f(-2) = 4, donc 44 a deux antécédents (22 et −2-2).

💡 À retenir

  • Une fonction associe à chaque entrée xx une seule sortie f(x)f(x) — c'est la règle fondamentale.
  • L'image se lit sur l'axe des ordonnées : on part de xx, on monte jusqu'à la courbe, on lit f(x)f(x).
  • L'antécédent se trouve en résolvant f(x)=yf(x) = y ; il peut y avoir 00, 11 ou plusieurs solutions.
  • Sur un graphique, les antécédents de yy correspondent aux abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite y=by = b.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Lecture de graphiques physiques : évolution de la température, distance parcourue en fonction du temps

Mots-clés associés : FonctionImageAntécédentTableau de valeursCourbe
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