📈

Fonctions affines et linéaires

Coefficient directeur, ordonnée à l'origine, droite

🔬 Application physique-chimie : Toute grandeur qui évolue à taux constant : charge d'un condensateur, dilatation d'un métal, coût de production

Un taxi affiche $4$ € dès que tu montes, puis $2$ € par kilomètre. Un autre ne prend rien au départ mais facture $3$ € du kilomètre.

Lequel est le moins cher ? La réponse dépend de la distance — et pour la trouver sans tester tous les cas, il faut savoir écrire chaque tarif comme une fonction affine.

Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$ . Elle décrit tout ce qui évolue à rythme constant à partir d'une valeur de départ : le $b$ est ce qu'on paie avant même de commencer, le $a$ est ce que chaque unité supplémentaire ajoute.

Quand la valeur de départ est nulle ( $b = 0$ ), la fonction devient linéaire : $f(x) = ax$ . C'est exactement une situation de proportionnalité — deux fois plus de kilomètres, deux fois plus cher.

Ce qui rend ces fonctions si commodes : leur représentation graphique est toujours une droite. Deux points suffisent donc à la tracer, et une lecture graphique suffit souvent à conclure.

📖 Vocabulaire clé

Fonction affine : Fonction qui s'écrit

f(x) = ax + b

, où

a

b

sont deux nombres fixés. Sa représentation graphique est une droite.

Fonction linéaire : Cas particulier de fonction affine où

b = 0

f(x) = ax

. Sa droite passe par l'origine du repère. C'est la traduction d'une situation de proportionnalité, et

a

en est le coefficient.

Coefficient directeur : Le nombre

a

. Il indique de combien

f(x)

varie quand

x

augmente de

1

. Si

a > 0

la droite monte, si

a < 0

elle descend, si

a = 0

elle est horizontale.

Ordonnée à l'origine : Le nombre

b

. C'est la valeur de la fonction en

0

f(0) = b

. Graphiquement, c'est l'endroit exact où la droite coupe l'axe vertical.

📋 Méthode en 3 étapes

1 Reconnaître et écrire la fonction : repérer la valeur de départ (elle donne $b$ ) et le rythme par unité (il donne $a$ ), puis écrire $f(x) = ax + b$ .
Exemple : $4$ € de prise en charge puis $2$ € par km donnent $f(x) = 2x + 4$ . S'il n'y a rien à payer au départ, alors $b = 0$ et la fonction est linéaire.
2 Calculer le coefficient directeur à partir de deux points : si on connaît $f(x_1)$ et $f(x_2)$ , alors $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ — un rapport de deux écarts, jamais de deux valeurs.

Exemple : $f(1) = 6$ et $f(4) = 12$ donnent $a = \dfrac{12 - 6}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$ .

On trouve ensuite $b$ en réinjectant un point : $6 = 2 \times 1 + b$ , donc $b = 4$ .
3 Tracer la droite : placer le point $(0 \,;\, b)$ sur l'axe vertical, puis se déplacer de $1$ vers la droite et de $a$ vers le haut (vers le bas si $a$ est négatif). On obtient un second point, et deux points suffisent à tracer la droite.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un taxi facture

4

€ de prise en charge, puis

2

€ par kilomètre parcouru. Un second taxi ne prend rien au départ mais facture

3

€ du kilomètre. À partir de quelle distance le premier taxi devient-il plus avantageux ?

Démarche :

Écrivons les deux tarifs. Le premier a une valeur de départ de $4$ et un rythme de $2$ par km : $f(x) = 2x + 4$ . C'est une fonction affine.
Le second n'a aucune valeur de départ : $g(x) = 3x$ . C'est une fonction linéaire — le prix y est proportionnel à la distance.
Cherchons où les deux tarifs sont égaux, c'est-à-dire où $f(x) = g(x)$ : $2x + 4 = 3x$ .
On soustrait $2x$ des deux côtés : $4 = x$ . Les deux taxis coûtent donc exactement la même chose pour $4$ km — $12$ € dans les deux cas.
Concluons. Au-delà de $4$ km, c'est le second qui devient plus cher, car chaque kilomètre lui coûte $3$ € contre $2$ € au premier. Le premier taxi est donc plus avantageux dès que la course dépasse $4$ km.

Réponse : Les deux tarifs se croisent à

4

km (

12

€). Au-delà, le premier taxi (

f(x) = 2x + 4

) est moins cher.

📐 Formules clés

Fonction affine :

f(x) = ax + b

(droite quelconque)

Fonction linéaire :

f(x) = ax

(droite passant par l'origine)

Ordonnée à l'origine :

f(0) = b

Coefficient directeur :

a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

🎨 Illustrations

Affine et linéaire

Ce que

a

b

font à la droite

Deux droites de même coefficient directeur $a = 2$ : la linéaire $g(x) = 2x$ part de l'origine, l'affine $f(x) = 2x + 3$ part de la hauteur $b = 3$ . Le petit escalier montre comment se lit $a$ : $1$ vers la droite, $2$ vers le haut.

1 Les deux droites ont le même coefficient directeur $a = 2$ : elles montent exactement pareil, elles sont donc parallèles. Seule leur hauteur de départ diffère.
2 La droite de $g$ passe par l'origine : c'est la signature d'une fonction linéaire, donc d'une situation de proportionnalité.
3 La droite de $f$ coupe l'axe vertical en $3$ : c'est son ordonnée à l'origine, et cela se lit directement dans l'écriture $f(x) = 2x + \mathbf{3}$ .
4 L'escalier se lit ainsi : on avance de $1$ sur l'axe horizontal, la droite monte de $2$ . Ce « $2$ » est le coefficient directeur.

Ce qu'il faut lire : Pour lire

b

, regarde où la droite coupe l'axe vertical. Pour lire

a

, avance de

1

vers la droite et compte de combien tu montes (ou descends).

Deux droites de même coefficient directeur

a = 2

: la linéaire

g(x) = 2x

et l'affine

f(x) = 2x + 3

, avec la lecture de

a

en escalier.

Le signe et la raideur

Le signe de a donne le sens, sa valeur absolue donne la raideur

Trois droites, un seul repère. Le signe de $a$ dit si la droite monte ou descend. Sa valeur absolue dit à quel point elle est raide. Ce sont deux questions différentes, et $-3$ est bien plus raide que $0{,}5$ .

1 Les droites $a = 3$ et $a = -3$ sont exactement aussi raides l'une que l'autre : elles se déduisent l'une de l'autre par un retournement. Seul leur sens diffère.
2 La droite $a = 0{,}5$ monte, comme celle de $a = 3$ — mais elle est de loin la plus douce des trois, parce que $0{,}5$ est le plus petit des trois en valeur absolue.
3 Retiens donc deux questions séparées : le signe de $a$ répond à « ça monte ou ça descend ? », et $|a|$ répond à « c'est raide ou c'est doux ? ».
4 Une conséquence utile : entre $-3$ et $0{,}5$ , la plus raide est celle de $-3$ , bien qu'elle soit la plus petite des deux comme nombre.

Ce qu'il faut lire : Pour comparer deux raideurs, oublie un instant les signes et ne compare que les nombres sans leur signe. Pour dire qui monte et qui descend, ne regarde que les signes.

Trois droites passant par l'origine, de coefficients directeurs

3

-3

0{,}5

, dans un repère au même pas horizontal et vertical.

Piège

Le coefficient directeur ne dépend pas du sens de lecture

La même droite, lue deux fois. À gauche on part de $A$ vers $B$ , à droite on part de $B$ vers $A$ . Les deux écarts changent de signe en même temps, donc leur quotient, lui, ne bouge pas : $a = 1{,}5$ dans les deux cas.

1 Le coefficient directeur est le quotient $a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , c'est-à-dire l'écart vertical divisé par l'écart horizontal. Ici $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$ .
2 À droite, on a lu la même droite dans l'autre sens. Les deux écarts sont devenus négatifs ensemble : $\dfrac{-6}{-4} = 1{,}5$ . Le quotient est inchangé, et c'est heureux — une droite n'a qu'un seul coefficient directeur.
3 L'erreur la plus fréquente est d'inverser le quotient et d'écrire $\dfrac{\Delta x}{\Delta y} = \dfrac{4}{6}$ , soit environ $0{,}67$ . Le contrôle immédiat : une droite qui monte de plus de $1$ quand on avance de $1$ a forcément $a > 1$ .
4 Le moyen le plus sûr de ne pas te tromper : lis toujours ton triangle dans le même ordre que la fraction — le haut de la fraction est le déplacement vertical, le bas le déplacement horizontal.

Ce qu'il faut lire : Les deux triangles sont le même triangle, parcouru dans deux sens opposés. Quand tu changes de sens, les deux écarts changent de signe en même temps, donc leur quotient ne change pas.

La droite passant par

A(-2\,;\,-1)

B(2\,;\,5)

, lue de

A

vers

B

puis de

B

vers

A

: le coefficient directeur vaut

1{,}5

dans les deux cas.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

toute fonction linéaire est affine, mais l'inverse est faux.

✅ La suggestion

$f(x) = 2x + 3$ est affine et n'est pas linéaire, car $f(0) = 3 \neq 0$ — il n'y a donc pas proportionnalité : doubler $x$ ne double pas $f(x)$ . Vérifie : $f(1) = 5$ mais $f(2) = 7$ , et $7 \neq 2 \times 5$ . Seules les fonctions linéaires ( $b = 0$ ) traduisent une proportionnalité.

💡 À retenir

Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$ et se représente par une droite.
Une fonction linéaire est une affine avec $b = 0$ : sa droite passe par l'origine, et elle traduit une proportionnalité.
Le coefficient directeur $a$ donne la variation de $f(x)$ quand $x$ augmente de $1$ ; l'ordonnée à l'origine $b$ vaut $f(0)$ .
Deux points suffisent à tracer la droite — et deux points suffisent à retrouver $a$ grâce à $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ .
Deux droites de même $a$ sont parallèles.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Toute grandeur qui évolue à taux constant : charge d'un condensateur, dilatation d'un métal, coût de production

Mots-clés associés : Fonction affineFonction linéaireCoefficient directeurOrdonnée à l'origineDroite

← Fonctions – notions de base 44 / 49 → Homothéties