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Fonctions affines et linéaires

Coefficient directeur, ordonnée à l'origine, droite

🔬 Application physique-chimie : Toute grandeur qui évolue à taux constant : charge d'un condensateur, dilatation d'un métal, coût de production

Un taxi affiche $4$ € dès que tu montes, puis $2$ € par kilomètre. Un autre ne prend rien au départ mais facture $3$ € du kilomètre.

Lequel est le moins cher ? La réponse dépend de la distance — et pour la trouver sans tester tous les cas, il faut savoir écrire chaque tarif comme une fonction affine.

Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$ . Elle décrit tout ce qui évolue à rythme constant à partir d'une valeur de départ : le $b$ est ce qu'on paie avant même de commencer, le $a$ est ce que chaque unité supplémentaire ajoute.

Quand la valeur de départ est nulle ( $b = 0$ ), la fonction devient linéaire : $f(x) = ax$ . C'est exactement une situation de proportionnalité — deux fois plus de kilomètres, deux fois plus cher.

Ce qui rend ces fonctions si commodes : leur représentation graphique est toujours une droite. Deux points suffisent donc à la tracer, et une lecture graphique suffit souvent à conclure.

📖 Vocabulaire clé

Fonction affine : Fonction qui s'écrit

f(x) = ax + b

, où

a

b

sont deux nombres fixés. Sa représentation graphique est une droite.

Fonction linéaire : Cas particulier de fonction affine où

b = 0

f(x) = ax

. Sa droite passe par l'origine du repère. C'est la traduction d'une situation de proportionnalité, et

a

en est le coefficient.

Coefficient directeur : Le nombre

a

. Il indique de combien

f(x)

varie quand

x

augmente de

1

. Si

a > 0

la droite monte, si

a < 0

elle descend, si

a = 0

elle est horizontale.

Ordonnée à l'origine : Le nombre

b

. C'est la valeur de la fonction en

0

f(0) = b

. Graphiquement, c'est l'endroit exact où la droite coupe l'axe vertical.

📋 Méthode en 3 étapes

1 Reconnaître et écrire la fonction : repérer la valeur de départ (elle donne $b$ ) et le rythme par unité (il donne $a$ ), puis écrire $f(x) = ax + b$ .
Exemple : $4$ € de prise en charge puis $2$ € par km donnent $f(x) = 2x + 4$ . S'il n'y a rien à payer au départ, alors $b = 0$ et la fonction est linéaire.
2 Calculer le coefficient directeur à partir de deux points : si on connaît $f(x_1)$ et $f(x_2)$ , alors $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ .
Exemple : $f(1) = 6$ et $f(4) = 12$ donnent $a = \dfrac{12 - 6}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$ . On trouve ensuite $b$ en réinjectant un point : $6 = 2 \times 1 + b$ , donc $b = 4$ .
3 Tracer la droite : placer le point $(0 \,;\, b)$ sur l'axe vertical, puis se déplacer de $1$ vers la droite et de $a$ vers le haut (vers le bas si $a$ est négatif). On obtient un second point, et deux points suffisent à tracer la droite.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Un taxi facture

4

€ de prise en charge, puis

2

€ par kilomètre parcouru. Un second taxi ne prend rien au départ mais facture

3

€ du kilomètre. À partir de quelle distance le premier taxi devient-il plus avantageux ?

Démarche :

Écrivons les deux tarifs. Le premier a une valeur de départ de $4$ et un rythme de $2$ par km : $f(x) = 2x + 4$ . C'est une fonction affine.
Le second n'a aucune valeur de départ : $g(x) = 3x$ . C'est une fonction linéaire — le prix y est proportionnel à la distance.
Cherchons où les deux tarifs sont égaux, c'est-à-dire où $f(x) = g(x)$ : $2x + 4 = 3x$ .
On soustrait $2x$ des deux côtés : $4 = x$ . Les deux taxis coûtent donc exactement la même chose pour $4$ km — $12$ € dans les deux cas.
Concluons. Au-delà de $4$ km, c'est le second qui devient plus cher, car chaque kilomètre lui coûte $3$ € contre $2$ € au premier. Le premier taxi est donc plus avantageux dès que la course dépasse $4$ km.

Réponse : Les deux tarifs se croisent à

4

km (

12

€). Au-delà, le premier taxi (

f(x) = 2x + 4

) est moins cher.

📐 Formules clés

Fonction affine :

f(x) = ax + b

(droite quelconque)

Fonction linéaire :

f(x) = ax

(droite passant par l'origine)

Ordonnée à l'origine :

f(0) = b

Coefficient directeur :

a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

🎨 Illustration

Affine et linéaire

Ce que

a

b

font à la droite

Deux droites de même coefficient directeur $a = 2$ : la linéaire $g(x) = 2x$ part de l'origine, l'affine $f(x) = 2x + 3$ part de la hauteur $b = 3$ . Le petit escalier montre comment se lit $a$ : $1$ vers la droite, $2$ vers le haut.

1 Les deux droites ont le même coefficient directeur $a = 2$ : elles montent exactement pareil, elles sont donc parallèles. Seule leur hauteur de départ diffère.
2 La droite de $g$ passe par l'origine : c'est la signature d'une fonction linéaire, donc d'une situation de proportionnalité.
3 La droite de $f$ coupe l'axe vertical en $3$ : c'est son ordonnée à l'origine, et cela se lit directement dans l'écriture $f(x) = 2x + \mathbf{3}$ .
4 L'escalier se lit ainsi : on avance de $1$ sur l'axe horizontal, la droite monte de $2$ . Ce « $2$ » est le coefficient directeur.

Ce qu'il faut lire : Pour lire

b

, regarde où la droite coupe l'axe vertical. Pour lire

a

, avance de

1

vers la droite et compte de combien tu montes (ou descends).

Deux droites de même coefficient directeur

a = 2

: la linéaire

g(x) = 2x

et l'affine

f(x) = 2x + 3

, avec la lecture de

a

en escalier.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

toute fonction linéaire est affine, mais l'inverse est faux.

✅ La suggestion

$f(x) = 2x + 3$ est affine et n'est pas linéaire, car $f(0) = 3 \neq 0$ — il n'y a donc pas proportionnalité : doubler $x$ ne double pas $f(x)$ . Vérifie : $f(1) = 5$ mais $f(2) = 7$ , et $7 \neq 2 \times 5$ . Seules les fonctions linéaires ( $b = 0$ ) traduisent une proportionnalité.

💡 À retenir

Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$ et se représente par une droite.
Une fonction linéaire est une affine avec $b = 0$ : sa droite passe par l'origine, et elle traduit une proportionnalité.
Le coefficient directeur $a$ donne la variation de $f(x)$ quand $x$ augmente de $1$ ; l'ordonnée à l'origine $b$ vaut $f(0)$ .
Deux points suffisent à tracer la droite — et deux points suffisent à retrouver $a$ grâce à $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ .
Deux droites de même $a$ sont parallèles.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Toute grandeur qui évolue à taux constant : charge d'un condensateur, dilatation d'un métal, coût de production

Mots-clés associés : Fonction affineFonction linéaireCoefficient directeurOrdonnée à l'origineDroite

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