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Homothéties

Centre, rapport, image d'une figure

Tu veux repeindre une affiche carrée de $1$ mètre de côté, puis la même affiche deux fois plus grande, soit $2$ mètres de côté. Tu as acheté un pot de peinture qui a exactement couvert la petite. Combien de pots faut-il pour la grande ?

La réponse spontanée est « deux pots », puisque tout est deux fois plus grand. Compte les cases : la grande affiche se pave exactement par quatre petites affiches, deux en largeur et deux en hauteur. Il en faut donc quatre pots.

Voilà ce que ce chapitre met en forme : quand une figure est agrandie, les longueurs sont multipliées par le rapport, mais les aires sont multipliées par son carré. Doubler les côtés quadruple la surface ; les tripler la multiplie par neuf.

La transformation qui réalise cet agrandissement porte un nom : l'homothétie. Elle est définie par un centre $O$ , qui est le seul point à ne pas bouger, et un rapport $k$ , qui dit de combien chaque point s'éloigne du centre.

Elle conserve les angles et multiplie toutes les longueurs par $|k|$ : la figure garde donc exactement sa forme, seule sa taille change.

Le signe de $k$ raconte autre chose. Si $k > 0$ , l'image reste du même côté du centre. Si $k < 0$ , elle bascule de l'autre côté de $O$ : la figure fait un demi-tour. C'est le point du chapitre qui se perd le plus vite, et c'est celui que les schémas ci-dessous mettent sous les yeux.

En optique, une lentille réalise précisément une homothétie entre l'objet et son image — et l'image renversée que tu observes, c'est un rapport négatif.

📖 Vocabulaire clé

Homothétie : Transformation géométrique qui associe à tout point

A

un point

A'

tel que

\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}

. Elle conserve les formes mais change les dimensions.

Centre : Le point fixe

O

de l'homothétie : c'est le seul point qui ne bouge pas. Tous les autres points « glissent » le long de la droite qui les relie à

O

Rapport : Le nombre

k

qui détermine l'agrandissement (

|k| > 1

), la réduction (

0 < |k| < 1

) ou le retournement (

k < 0

k = 1

donne l'identité.

Similitude : Transformation qui conserve les angles et multiplie les longueurs par un même facteur. L'homothétie est un cas particulier de similitude.

📋 Méthode en 3 étapes

1 Étape 1 : Identifier le centre $O$ et le rapport $k$ (donné dans l'énoncé).
2 Étape 2 : Construire l'image de $A$ : le point $A'$ tel que $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$ .
En coordonnées : $A'\bigl(x_O + k(x_A - x_O) \,;\, y_O + k(y_A - y_O)\bigr)$ .
3 Étape 3 : Calculer les nouvelles dimensions :
— Longueurs : $\times |k|$
— Aires : $\times k^2$
— Angles : conservés (inchangés)

✅ Exemple résolu

Énoncé : On considère l'homothétie de centre

O(0\,;\,0)

et de rapport

k = 2

. Déterminer l'image du point

A(3\,;\,1)

Démarche :

Formule : $A'(x_O + k(x_A - x_O) \,;\, y_O + k(y_A - y_O))$ .
Ici $O$ est l'origine, donc $A'(k \cdot x_A \,;\, k \cdot y_A)$ .
Calcul : $A'(2 \times 3 \,;\, 2 \times 1) = A'(6\,;\,2)$ .
Vérification : $OA = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ et $OA' = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ . On a bien $OA' = 2 \times OA$ ✓.

Réponse :

A'(6\,;\,2)

. La distance au centre est bien multipliée par

k = 2

📐 Formules clés

\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}

Longueurs :

A'B' = |k| \times AB

Aires :

\mathcal{A}_{\text{image}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{original}}

Les angles sont conservés (similitude)

🎨 Illustrations

Transformation géométrique

Visualiser une homothétie de rapport k = 2

Le triangle $ABC$ et son image $A'B'C'$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$ : chaque sommet image est deux fois plus loin de $O$ que le sommet d'origine, sur la même droite.

1 Le centre $O$ est le seul point fixe de l'homothétie : $A$ , $B$ , $C$ glissent chacun le long de leur droite $(OA)$ , $(OB)$ , $(OC)$ jusqu'à leur image.
2 Ici $k = 2$ : $\vec{OA'} = 2\vec{OA}$ (idem pour $B$ et $C$ ), donc chaque point d'origine se trouve exactement au milieu du segment reliant $O$ à son image.
3 Le triangle image $A'B'C'$ est semblable à $ABC$ : mêmes angles, côtés multipliés par $k = 2$ , donc une aire multipliée par $k^2 = 4$ .

Ce qu'il faut lire : Pars toujours de

O

et suis chaque droite jusqu'à l'image : avec

k = 2

, la distance double à chaque fois.

Homothétie de centre

O

et de rapport

k = 2

: triangle

ABC

et son image

A'B'C'

, avec les droites

(OA)

(OB)

(OC)

prolongées jusqu'aux points images.

Piège

Un rapport négatif fait basculer la figure de l'autre côté

Les deux dessins ci-dessous ont le même centre $O$ , le même triangle de départ et la même valeur absolue de rapport : $1{,}6$ . Seul le signe change. À gauche l'image reste du même côté du centre ; à droite elle bascule de l'autre côté, et la figure fait un demi-tour.

1 Dans les deux dessins, chaque point image est à $1{,}6$ fois la distance du centre : la valeur absolue du rapport est la même, et les deux triangles images ont exactement la même taille.
2 À gauche $k = 1{,}6 > 0$ : le rayon part de $O$ , rencontre le sommet, puis son image plus loin. Les trois points sont dans cet ordre.
3 À droite $k = -1{,}6 < 0$ : le rayon traverse $O$ . Le centre est entre le sommet et son image, et le triangle est retourné.
4 Le signe ne change donc ni la forme ni la taille de l'image : il change seulement le côté où elle se trouve.

Ce qu'il faut lire : Suis un rayon du doigt en partant du sommet

A

. À gauche tu t'éloignes de

O

pour atteindre son image ; à droite tu dois passer par

O

et continuer au-delà.

Le même triangle et le même centre, transformés par deux rapports opposés :

k = 1{,}6

à gauche,

k = -1{,}6

à droite.

Longueurs et aires

Les longueurs doublent, la surface est multipliée par quatre

Un carré agrandi par une homothétie de rapport $k = 2$ : son côté est bien deux fois plus long. Mais le grand carré se pave exactement par quatre copies du petit, et non par deux. C'est ce que dit la formule $\mathcal{A}_{\text{image}} = k^2 \times \mathcal{A}$ .

1 Le côté passe de $c$ à $2c$ : les longueurs sont bien multipliées par $|k| = 2$ .
2 Le grand carré contient quatre copies du petit, pas deux : l'aire est multipliée par $k^2 = 4$ .
3 Avec $k = 3$ , le pavage compterait $9$ cases ; avec $k = 10$ , il en compterait $100$ . Le nombre de cases est toujours $k^2$ .
4 Le réflexe utile : dès qu'un énoncé parle de surface, de superficie, de peinture ou de carrelage, le facteur à utiliser est $k^2$ , jamais $k$ .

Ce qu'il faut lire : Compte les cases du grand carré : il y en a quatre, et chacune a exactement la taille du carré de gauche.

Un carré et son image de rapport

2

, le grand pavé par quatre copies du petit.

Cas particulier

Le rapport moins un est exactement la symétrie centrale

Quand $k = -1$ , l'image est à la même distance du centre que le point de départ, mais de l'autre côté. Le centre $O$ est donc le milieu de chaque segment reliant un point à son image : c'est mot pour mot la définition de la symétrie centrale vue en cinquième.

1 Avec $k = -1$ , on a $|k| = 1$ : les longueurs sont inchangées, et le triangle image a exactement la même taille que celui de départ.
2 Le signe négatif place l'image de l'autre côté de $O$ , à la même distance : $O$ est donc le milieu de $[AA']$ , de $[BB']$ et de $[CC']$ .
3 Une symétrie centrale n'est pas un cas à part de l'homothétie : c'est exactement l'homothétie de rapport $-1$ .
4 À ne pas confondre avec $k = 1$ , qui ne bouge rien du tout : le triangle et son image sont alors confondus.

Ce qu'il faut lire : Pose ta règle sur

A

A'

: elle passe par

O

, et

O

tombe au milieu. Refais-le avec

B

puis

C

, c'est vrai à chaque fois.

Homothétie de centre

O

et de rapport

-1

: le triangle et son image sont symétriques par rapport à

O

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

l'homothétie multiplie les LONGUEURS par $|k|$ mais les AIRES par $k^2$ .

✅ La suggestion

Si on agrandit d'un facteur $3$ , les longueurs sont $\times 3$ mais l'aire est $\times 9$ !

💡 À retenir

Les longueurs sont multipliées par $|k|$ et les aires par $k^2$ — ne pas confondre !
Les angles sont toujours conservés : l'image d'un triangle équilatéral reste équilatéral.
Si $k = -1$ , l'homothétie est une symétrie centrale par rapport au centre $O$ .
Pour trouver l'image d'un point en coordonnées : $A'(x_O + k(x_A - x_O) \,;\, y_O + k(y_A - y_O))$ .

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