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Homothéties

Centre, rapport, image d'une figure

L'homothétie est la transformation géométrique qui réalise tous les agrandissements et réductions. Elle conserve les angles et multiplie toutes les longueurs par $|k|$ , où $k$ est le rapport.

Le centre $O$ est le seul point fixe : tous les autres « glissent » sur leur droite passant par $O$ . Si $k > 0$ , l'image est du même côté ; si $k < 0$ , elle est de l'autre côté du centre (retournement).

En optique, une lentille réalise une homothétie entre objet et image.

Piège des aires : multiplier les longueurs par $k$ multiplie les aires par $k^2$ — un agrandissement de facteur $3$ donne une aire $9$ fois plus grande !

📖 Vocabulaire clé

Homothétie : Transformation géométrique qui associe à tout point

A

un point

A'

tel que

\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}

. Elle conserve les formes mais change les dimensions.

Centre : Le point fixe

O

de l'homothétie : c'est le seul point qui ne bouge pas. Tous les autres points « glissent » le long de la droite qui les relie à

O

Rapport : Le nombre

k

qui détermine l'agrandissement (

|k| > 1

), la réduction (

0 < |k| < 1

) ou le retournement (

k < 0

k = 1

donne l'identité.

Similitude : Transformation qui conserve les angles et multiplie les longueurs par un même facteur. L'homothétie est un cas particulier de similitude.

📋 Méthode en 3 étapes

1 Étape 1 : Identifier le centre $O$ et le rapport $k$ (donné dans l'énoncé).
2 Étape 2 : Construire l'image de $A$ : le point $A'$ tel que $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$ .
En coordonnées : $A'\bigl(x_O + k(x_A - x_O) \,;\, y_O + k(y_A - y_O)\bigr)$ .
3 Étape 3 : Calculer les nouvelles dimensions :
— Longueurs : $\times |k|$
— Aires : $\times k^2$
— Angles : conservés (inchangés)

✅ Exemple résolu

Énoncé : On considère l'homothétie de centre

O(0\,;\,0)

et de rapport

k = 2

. Déterminer l'image du point

A(3\,;\,1)

Démarche :

Formule : $A'(x_O + k(x_A - x_O) \,;\, y_O + k(y_A - y_O))$ .
Ici $O$ est l'origine, donc $A'(k \cdot x_A \,;\, k \cdot y_A)$ .
Calcul : $A'(2 \times 3 \,;\, 2 \times 1) = A'(6\,;\,2)$ .
Vérification : $OA = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ et $OA' = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ . On a bien $OA' = 2 \times OA$ ✓.

Réponse :

A'(6\,;\,2)

. La distance au centre est bien multipliée par

k = 2

📐 Formules clés

\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}

Longueurs :

A'B' = |k| \times AB

Aires :

\mathcal{A}_{\text{image}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{original}}

Les angles sont conservés (similitude)

🎨 Illustration

Transformation géométrique

Visualiser une homothétie de rapport k = 2

Le triangle $ABC$ et son image $A'B'C'$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$ : chaque sommet image est deux fois plus loin de $O$ que le sommet d'origine, sur la même droite.

1 Le centre $O$ est le seul point fixe de l'homothétie : $A$ , $B$ , $C$ glissent chacun le long de leur droite $(OA)$ , $(OB)$ , $(OC)$ jusqu'à leur image.
2 Ici $k = 2$ : $\vec{OA'} = 2\vec{OA}$ (idem pour $B$ et $C$ ), donc chaque point d'origine se trouve exactement au milieu du segment reliant $O$ à son image.
3 Le triangle image $A'B'C'$ est semblable à $ABC$ : mêmes angles, côtés multipliés par $k = 2$ , donc une aire multipliée par $k^2 = 4$ .

Ce qu'il faut lire : Pars toujours de

O

et suis chaque droite jusqu'à l'image : avec

k = 2

, la distance double à chaque fois.

Homothétie de centre

O

et de rapport

k = 2

: triangle

ABC

et son image

A'B'C'

, avec les droites

(OA)

(OB)

(OC)

prolongées jusqu'aux points images.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

l'homothétie multiplie les LONGUEURS par $|k|$ mais les AIRES par $k^2$ .

✅ La suggestion

Si on agrandit d'un facteur $3$ , les longueurs sont $\times 3$ mais l'aire est $\times 9$ !

💡 À retenir

Les longueurs sont multipliées par $|k|$ et les aires par $k^2$ — ne pas confondre !
Les angles sont toujours conservés : l'image d'un triangle équilatéral reste équilatéral.
Si $k = -1$ , l'homothétie est une symétrie centrale par rapport au centre $O$ .
Pour trouver l'image d'un point en coordonnées : $A'(x_O + k(x_A - x_O) \,;\, y_O + k(y_A - y_O))$ .

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