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Sections de solides

Plans de coupe, sections parallèles et perpendiculaires

Prends un saucisson et un couteau. Coupe-le droit, perpendiculairement à sa longueur : tu obtiens une rondelle, un disque. Maintenant coupe-le dans l'autre sens, tout du long : tu obtiens une bande allongée, un rectangle.

Même saucisson, même couteau, deux formes qui n'ont rien à voir. Et si tu coupes de biais, tu obtiens encore autre chose : une forme ovale, étirée.

Voilà la question du chapitre : qu'est-ce qui a changé ? Pas le solide — il est resté le même. Ce qui a changé, c'est l'orientation du plan de coupe. La forme que tu vois n'appartient donc pas au solide seul, elle appartient au couple « solide + plan ».

C'est un point qui résiste, parce qu'on est tenté de croire qu'on « aplatit » le solide ou qu'on rabat une de ses faces. Il n'en est rien : la section est une figure nouvelle, qui vit dans le plan de coupe et nulle part ailleurs.

Un scanner médical fait exactement ce travail, des centaines de fois par examen : il produit des sections du corps, coupe après coupe, et un ordinateur reconstruit ensuite le volume à partir d'elles. Sans la géométrie des sections, aucune image médicale en trois dimensions n'existerait.

Deux régularités vont te servir tout au long du chapitre. Une section parallèle à une base conserve la forme de cette base, en plus petit : c'est le théorème de Thalès, transporté dans l'espace. Et une coupe oblique d'un cylindre donne une ellipse, jamais un cercle ni un rectangle.

Pour les pyramides et les cônes, le rapport de similitude entre la section et la base est le rapport des hauteurs.

📖 Vocabulaire clé

Section : Figure plane obtenue en coupant un solide par un plan. Sa forme dépend du type de solide et de l'orientation du plan de coupe.
Plan de coupe : Le plan qui intersecte le solide. Il peut être parallèle à la base, perpendiculaire à l'axe ou oblique — chaque orientation produit une section différente.
Similitude dans l'espace : Quand un plan coupe une pyramide ou un cône parallèlement à la base, la section est une figure semblable à la base (mêmes angles, proportions conservées).
Rapport de réduction : Le quotient k=h′hk = \dfrac{h'}{h} entre la distance du sommet au plan de coupe (h′h') et la hauteur totale (hh). Les dimensions de la section sont multipliées par kk.

📋 Méthode selon le type de solide

  1. 1 Pavé droit : section parallèle à une face → rectangle (ou carré).
    Section oblique → parallélogramme.
  2. 2 Cylindre : section parallèle aux bases → disque (même rayon).
    Section par un plan contenant l'axe → rectangle.
    Section oblique → ellipse.
  3. 3 Cône : section parallèle à la base → disque (rayon réduit, rapport =h′/h= h'/h).
    Section par un plan passant par le sommet et l'axe → triangle isocèle.
  4. 4 Pyramide : section parallèle à la base → figure semblable à la base.
    Rapport de similitude =k=h′/h= k = h'/h (Thalès dans l'espace).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Une pyramide à base carrée de côté 88 cm et de hauteur 1212 cm est coupée par un plan parallèle à la base, situé à 44 cm du sommet. Déterminer le côté et l'aire de la section.
Démarche :
  1. Rapport de réduction : k=h′h=412=13k = \dfrac{h'}{h} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}.
  2. Côté de la section : c′=8×13=83≈2,67c' = 8 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67 cm. La section est un carré semblable à la base.
  3. Aire de la section : A=c′2=(83)2=649≈7,11\mathcal{A} = c'^2 = \left(\dfrac{8}{3}\right)^2 = \dfrac{64}{9} \approx 7{,}11 cm². On vérifie : AsectionAbase=7,1164≈19=k2\dfrac{\mathcal{A}_{\text{section}}}{\mathcal{A}_{\text{base}}} = \dfrac{7{,}11}{64} \approx \dfrac{1}{9} = k^2 ✓.
Réponse : La section est un carré de côté 83≈2,67\dfrac{8}{3} \approx 2{,}67 cm et d'aire ≈7,11\approx 7{,}11 cm².

📐 Formules clés

Section parallèle à la base d'un cône ou pyramide : rapport de similitude =h′h= \dfrac{h'}{h}
Côté de la section : c′=c×h′hc' = c \times \dfrac{h'}{h} (homothétie)

🎨 Illustrations

Thalès dans l'espace
Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base

Pyramide à base carrée de côté 88 cm et de hauteur 1212 cm, coupée à 44 cm du sommet — reprise exacte de l'exemple du cours.

Section d'une pyramide par un plan parallele a la base A gauche, une pyramide a base carree en perspective avec un plan de coupe parallele a la base pres du sommet. A droite, la coupe de profil montrant deux triangles emboites semblables : le grand triangle (sommet-base) et le petit triangle (sommet-section), dans le rapport 1/3. S (sommet) côté ≈ 2,67 cm base : côté 8 cm S k = 1/3 h' = 4 cm c'/2 ≈ 1,33 cm c/2 = 4 cm petit triangle grand triangle
  • 1 Le plan de coupe est parallèle à la base, à h′=4h' = 4 cm du sommet SS (hauteur totale h=12h = 12 cm) : le rapport de réduction est k=h′h=412=13k = \dfrac{h'}{h} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}.
  • 2 La base est un carré de côté 88 cm ; la section, semblable à la base (Thalès dans l'espace), a pour côté c′=8×13=83≈2,67c' = 8 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67 cm.
  • 3 Les aires suivent le carré du rapport : AsectionAbase=k2=19\dfrac{\mathcal{A}_{\text{section}}}{\mathcal{A}_{\text{base}}} = k^2 = \dfrac{1}{9}, soit 7,1164≈0,11\dfrac{7{,}11}{64} \approx 0{,}11 — cohérent avec l'exemple du cours.
  • 4 La vue de profil (à droite) est la coupe passant par le sommet et les milieux de deux côtés opposés de la base : on y retrouve la configuration de Thalès en 2D, avec le petit triangle (section) semblable au grand triangle (base).
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord le sommet SS et l'axe pointillé sommet-base : la section (à gauche) est la figure semblable à la base, réduite selon le même rapport kk que sur la vue de profil (à droite).
Pyramide à base carrée (côté 88 cm, hauteur 1212 cm) coupée à 44 cm du sommet, parallèlement à la base — exemple du cours, avec vérification du rapport k=1/3k = 1/3 sur les longueurs et k2=1/9k^2 = 1/9 sur les aires.
Piège
Une section est la trace du couteau, pas une face rabattue

Le même pavé, deux fois. À gauche, ce que l'élève dessine souvent : il rabat une face du solide, ou il en trace l'ombre. À droite, la vraie section : le plan traverse le pavé de part en part, et la figure obtenue est un parallélogramme penché qui n'est aucune des six faces.

Face rabattue et vraie section d'un pave A gauche, un pave droit dessine en perspective, dont la face avant, un rectangle bien droit, est mise en valeur : c'est la face du solide, et non une section. A droite, le meme pave traverse par un plan de coupe oblique ; la figure obtenue est un parallelogramme penche qui entre par l'arete verticale de gauche a un tiers de hauteur et ressort par l'arete verticale de droite aux deux tiers de hauteur, en passant a l'interieur du solide. Ce parallelogramme ne coincide avec aucune des six faces du pave et ne peut donc pas etre obtenu en rabattant une face. ce que ce n'est pas face avant rectangle bien droit déjà dans le solide ce n'est pas une section la vraie section parallélogramme penché figure nouvelle voilà une section
  • 1 À gauche, le rectangle mis en valeur existait déjà : c'est une face du pavé. Aucun couteau n'est passé, donc ce n'est pas une section.
  • 2 À droite, le plan entre par une arête verticale et ressort par l'autre, à une hauteur différente. C'est ce décalage qui penche la figure.
  • 3 Le parallélogramme obtenu ne coïncide avec aucune des six faces : on ne peut donc pas l'obtenir en rabattant quoi que ce soit.
  • 4 Le test qui tranche : une section n'apparaît que si le plan traverse l'intérieur du solide. Si ton dessin longe une face sans entrer dedans, tu as dessiné la face, pas la coupe.
Ce qu'il faut lire : Pose ton doigt sur le point marqué à gauche du pavé de droite, puis suis le bord épais : tu passes à l'intérieur du solide avant de ressortir plus bas de l'autre côté. C'est ce trajet-là qui est la section.
Le même pavé : à gauche une face mise en valeur, à droite la vraie section par un plan oblique, un parallélogramme qui n'est aucune des faces.
Piège
Le cylindre ne rétrécit pas, le cône si

Même rayon de base, même hauteur, même hauteur de coupe : et pourtant les deux disques obtenus n'ont rien à voir. Le cylindre donne un disque de rayon identique à sa base, le cône un disque réduit de moitié. La différence ne vient pas de la coupe, elle vient du solide.

Coupe parallele a la base d'un cylindre et d'un cone A gauche, un cylindre coupe a mi-hauteur par un plan parallele a ses bases : le disque obtenu a exactement le meme rayon que la base du cylindre, et il touche les deux cotes verticaux du solide. A droite, un cone de meme rayon de base et de meme hauteur, coupe a la meme hauteur : le disque obtenu n'a plus que la moitie du rayon de la base, car les aretes du cone se rapprochent en montant vers le sommet. Les deux coupes sont faites au meme endroit, mais elles ne donnent pas la meme figure. cylindre rayon inchangé le disque touche les bords cône rayon divisé par deux les arêtes se rapprochent même hauteur de coupe même base même hauteur
  • 1 Le cylindre a des côtés verticaux : à n'importe quelle hauteur, le disque obtenu garde le rayon de la base. Couper un cylindre parallèlement aux bases ne réduit rien.
  • 2 Le cône a des arêtes qui convergent vers le sommet : plus on coupe haut, plus le disque est petit. Ici la coupe est à mi-hauteur, donc le rayon est divisé par 22.
  • 3 Le rapport de réduction vaut k=h′hk = \dfrac{h'}{h} pour le cône, et k=1k = 1 pour le cylindre à toute hauteur.
  • 4 Le réflexe utile : avant de réduire quoi que ce soit, regarde si les côtés du solide sont parallèles ou s'ils se rejoignent. Ce sont eux qui décident, pas le plan de coupe.
Ce qu'il faut lire : Suis la ligne de coupe horizontale d'un solide à l'autre : elle est à la même hauteur des deux côtés. Compare ensuite la largeur des deux disques colorés, puis celle des deux bases.
Un cylindre et un cône de même base et de même hauteur, coupés à la même hauteur : disque de même rayon à gauche, disque de rayon moitié à droite.
Longueurs et aires
Les longueurs sont divisées par deux, mais l'aire par quatre

Une pyramide de base carrée coupée à mi-hauteur : k=12k = \dfrac{1}{2}. Le côté de la section passe bien de 88 cm à 44 cm. Mais le carré de la base se pave exactement par quatre copies de la section, et pas par deux : les aires suivent k2k^2.

Section a mi-hauteur d'une pyramide et comparaison des aires A gauche, la coupe de profil d'une pyramide a base carree : le plan de coupe est a mi-hauteur du sommet, le rapport de reduction vaut donc un demi. A droite, les deux carres vus de dessus, superposes par un coin : le carre de la base mesure huit centimetres de cote, le carre de la section quatre centimetres. Le grand carre est partage par un trait vertical et un trait horizontal en quatre cases identiques, chacune ayant exactement la taille du carre de la section. Le lecteur compte donc quatre sections dans la base, alors que les cotes n'ont ete divises que par deux. S k = 1/2 côté 8 cm coupe à mi-hauteur 1 2 3 4 base : 8 cm de côté aire 64 cm carrés section 4 cm de côté aire 16 cm carrés quatre fois moins, pas deux
  • 1 La coupe est à mi-hauteur, donc k=h′h=12k = \dfrac{h'}{h} = \dfrac{1}{2} : le côté passe de 88 cm à 8×12=48 \times \dfrac{1}{2} = 4 cm.
  • 2 L'aire, elle, passe de 82=648^2 = 64 cm² à 42=164^2 = 16 cm². Le rapport vaut 1664=14=k2\dfrac{16}{64} = \dfrac{1}{4} = k^2, pas kk.
  • 3 Le grand carré contient quatre cases de la taille de la section : on peut les compter, il n'y a rien à croire sur parole.
  • 4 Avec k=13k = \dfrac{1}{3}, le pavage compterait 99 cases ; avec k=14k = \dfrac{1}{4}, il en compterait 1616. Le nombre de cases vaut toujours 1k2\dfrac{1}{k^2}.
  • 5 Le réflexe utile : dès qu'un énoncé parle d'aire, de surface ou de peinture, le facteur est k2k^2. Pour un volume, ce serait k3k^3.
Ce qu'il faut lire : Compte les cases du grand carré à droite : il y en a quatre, et la case colorée en haut à gauche a exactement la taille de la section. Reviens ensuite au profil de gauche pour voir que la coupe est bien à mi-hauteur.
Pyramide coupée à mi-hauteur : le côté est divisé par deux, mais la base se pave par quatre copies de la section.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

la section d'un cylindre PAR un plan oblique (ni perpendiculaire ni contenant l'axe) est une ELLIPSE, pas un rectangle ni un cercle.

✅ La suggestion

Souvent négligé mais important !

💡 À retenir

  • Une coupe parallèle à la base donne toujours une figure semblable à la base (même forme, dimensions réduites).
  • Le rapport de réduction est k=h′hk = \dfrac{h'}{h} — les longueurs sont multipliées par kk, les aires par k2k^2.
  • Une coupe oblique d'un cylindre ou d'un cône produit une ellipse, pas un cercle.
  • Pour calculer une section : identifier le solide, le type de coupe, appliquer le rapport de similitude si parallèle.
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