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Sections de solides

Plans de coupe, sections parallèles et perpendiculaires

Couper un solide par un plan donne une section plane dont la forme révèle la structure géométrique du solide. Les sections parallèles à une base conservent la forme de celle-ci, en plus petit, selon un rapport de similitude lié aux hauteurs.

Les coupes obliques donnent des formes moins intuitives : une coupe oblique d'un cylindre produit une ellipse, pas un rectangle ni un cercle.

Applications concrètes : en médecine (IRM, scanner), en architecture (plans de coupe), en fabrication industrielle.

Pour les pyramides et cônes, le rapport de similitude entre la section et la base est le rapport des hauteurs — c'est le théorème de Thalès appliqué dans l'espace.

📖 Vocabulaire clé

Section : Figure plane obtenue en coupant un solide par un plan. Sa forme dépend du type de solide et de l'orientation du plan de coupe.
Plan de coupe : Le plan qui intersecte le solide. Il peut être parallèle à la base, perpendiculaire à l'axe ou oblique — chaque orientation produit une section différente.
Similitude dans l'espace : Quand un plan coupe une pyramide ou un cône parallèlement à la base, la section est une figure semblable à la base (mêmes angles, proportions conservées).
Rapport de réduction : Le quotient k=h′hk = \dfrac{h'}{h} entre la distance du sommet au plan de coupe (h′h') et la hauteur totale (hh). Les dimensions de la section sont multipliées par kk.

📋 Méthode selon le type de solide

  1. 1 Pavé droit : section parallèle à une face → rectangle (ou carré).
    Section oblique → parallélogramme.
  2. 2 Cylindre : section parallèle aux bases → disque (même rayon).
    Section par un plan contenant l'axe → rectangle.
    Section oblique → ellipse.
  3. 3 Cône : section parallèle à la base → disque (rayon réduit, rapport =h′/h= h'/h).
    Section par un plan passant par le sommet et l'axe → triangle isocèle.
  4. 4 Pyramide : section parallèle à la base → figure semblable à la base.
    Rapport de similitude =k=h′/h= k = h'/h (Thalès dans l'espace).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Une pyramide à base carrée de côté 88 cm et de hauteur 1212 cm est coupée par un plan parallèle à la base, situé à 44 cm du sommet. Déterminer le côté et l'aire de la section.
Démarche :
  1. Rapport de réduction : k=h′h=412=13k = \dfrac{h'}{h} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}.
  2. Côté de la section : c′=8×13=83≈2,67c' = 8 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67 cm. La section est un carré semblable à la base.
  3. Aire de la section : A=c′2=(83)2=649≈7,11\mathcal{A} = c'^2 = \left(\dfrac{8}{3}\right)^2 = \dfrac{64}{9} \approx 7{,}11 cm². On vérifie : AsectionAbase=7,1164≈19=k2\dfrac{\mathcal{A}_{\text{section}}}{\mathcal{A}_{\text{base}}} = \dfrac{7{,}11}{64} \approx \dfrac{1}{9} = k^2 ✓.
Réponse : La section est un carré de côté 83≈2,67\dfrac{8}{3} \approx 2{,}67 cm et d'aire ≈7,11\approx 7{,}11 cm².

📐 Formules clés

Section parallèle à la base d'un cône ou pyramide : rapport de similitude =h′h= \dfrac{h'}{h}
Côté de la section : c′=c×h′hc' = c \times \dfrac{h'}{h} (homothétie)

🎨 Illustration

Thalès dans l'espace
Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base

Pyramide à base carrée de côté 88 cm et de hauteur 1212 cm, coupée à 44 cm du sommet — reprise exacte de l'exemple du cours.

Section d'une pyramide par un plan parallele a la base A gauche, une pyramide a base carree en perspective avec un plan de coupe parallele a la base pres du sommet. A droite, la coupe de profil montrant deux triangles emboites semblables : le grand triangle (sommet-base) et le petit triangle (sommet-section), dans le rapport 1/3. S (sommet) côté ≈ 2,67 cm base : côté 8 cm S k = 1/3 h' = 4 cm c'/2 ≈ 1,33 cm c/2 = 4 cm petit triangle grand triangle
  • 1 Le plan de coupe est parallèle à la base, à h′=4h' = 4 cm du sommet SS (hauteur totale h=12h = 12 cm) : le rapport de réduction est k=h′h=412=13k = \dfrac{h'}{h} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}.
  • 2 La base est un carré de côté 88 cm ; la section, semblable à la base (Thalès dans l'espace), a pour côté c′=8×13=83≈2,67c' = 8 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67 cm.
  • 3 Les aires suivent le carré du rapport : AsectionAbase=k2=19\dfrac{\mathcal{A}_{\text{section}}}{\mathcal{A}_{\text{base}}} = k^2 = \dfrac{1}{9}, soit 7,1164≈0,11\dfrac{7{,}11}{64} \approx 0{,}11 — cohérent avec l'exemple du cours.
  • 4 La vue de profil (à droite) est la coupe passant par le sommet et les milieux de deux côtés opposés de la base : on y retrouve la configuration de Thalès en 2D, avec le petit triangle (section) semblable au grand triangle (base).
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord le sommet SS et l'axe pointillé sommet-base : la section (à gauche) est la figure semblable à la base, réduite selon le même rapport kk que sur la vue de profil (à droite).
Pyramide à base carrée (côté 88 cm, hauteur 1212 cm) coupée à 44 cm du sommet, parallèlement à la base — exemple du cours, avec vérification du rapport k=1/3k = 1/3 sur les longueurs et k2=1/9k^2 = 1/9 sur les aires.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

la section d'un cylindre PAR un plan oblique (ni perpendiculaire ni contenant l'axe) est une ELLIPSE, pas un rectangle ni un cercle.

✅ La suggestion

Souvent négligé mais important !

💡 À retenir

  • Une coupe parallèle à la base donne toujours une figure semblable à la base (même forme, dimensions réduites).
  • Le rapport de réduction est k=h′hk = \dfrac{h'}{h} — les longueurs sont multipliées par kk, les aires par k2k^2.
  • Une coupe oblique d'un cylindre ou d'un cône produit une ellipse, pas un cercle.
  • Pour calculer une section : identifier le solide, le type de coupe, appliquer le rapport de similitude si parallèle.
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