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Volumes : sphère et solides composés

Formule de la sphère, assemblages

🔬 Application physique-chimie : Calcul du volume d'un réservoir sphérique, d'une planète, d'une bulle de gaz
Une boule de glace de 33 cm de rayon, ce n'est pas énorme. Le vendeur te propose, pour le double du prix, une boule de 66 cm de rayon — « deux fois plus grosse », annonce-t-il.

Est-ce une bonne affaire ?

Presque tout le monde répond que c'est équitable : rayon doublé, glace doublée, prix doublé. C'est faux, et largement. Le volume d'une boule vaut V=43πr3V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 : le rayon y figure au cube. En doublant rr, on multiplie r3r^3 par 23=82^3 = 8. La grosse boule contient huit fois plus de glace que la petite, pas deux. Au double du prix, c'est une excellente affaire.

Ce décalage entre l'intuition et le calcul est tout le chapitre : dans l'espace, les longueurs se multiplient par kk, mais les volumes se multiplient par k3k^3. Aucune estimation à l'œil ne rattrape ce facteur — seul le calcul tranche.

La sphère est la surface des points situés à distance rr d'un centre ; la boule est le volume plein qu'elle délimite. Les deux mots désignent des objets différents, et l'énoncé d'un exercice choisit toujours l'un ou l'autre pour une bonne raison.

Cette sensibilité au rayon explique pourquoi les cellules biologiques ne dépassent pas une certaine taille : leur surface (en r2r^2) ne peut plus suffire aux échanges si le volume (en r3r^3) croît trop vite. C'est aussi pourquoi un gros animal se refroidit bien plus lentement qu'une souris.

Pour les solides composés : décomposer en formes simples (boule, cylindre, cône, pyramide), calculer chaque volume, puis additionner — ou soustraire si un solide est creusé dans un autre.

📖 Vocabulaire clé

Sphère : La surface formée par tous les points situés à la même distance rr d'un point central. La sphère est « creuse » : elle n'inclut que la surface.
Boule : Le volume délimité par une sphère : la boule contient tous les points à distance ≤r\leq r du centre. C'est la sphère « pleine ».
Rayon : La distance rr du centre à n'importe quel point de la sphère. Attention : si l'énoncé donne le diamètre dd, il faut calculer r=d2r = \dfrac{d}{2} avant d'appliquer les formules.
Solide composé : Solide formé par assemblage de solides simples (cylindre + cône, boule creusée, etc.). Son volume se calcule par addition ou soustraction des volumes des parties.

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Étape 1 : Identifier les composantes du solide (boule, cône, cylindre, pyramide…).
    Exemple : une figurine = cylindre + demi-sphère.
  2. 2 Étape 2 : Calculer le volume de chaque partie avec la formule adaptée.
    Exemple : Vboule=43πr3V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3, Vcylindre=πr2hV_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h.
  3. 3 Étape 3 : Combiner — additionner les volumes si juxtaposés, soustraire si un solide est creusé dans un autre.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer le volume d'une boule de rayon r=6r = 6 cm. On prendra π≈3,14\pi \approx 3{,}14.
Démarche :
  1. Formule : V=43πr3V = \dfrac{4}{3}\pi r^3.
  2. Calcul de r3r^3 : 63=2166^3 = 216. Puis V=43×3,14×216=4×3,14×2163V = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 216 = \dfrac{4 \times 3{,}14 \times 216}{3}.
  3. Résultat : V=2 713,443≈904,32V = \dfrac{2\,713{,}44}{3} \approx 904{,}32 cm³.
Réponse : V≈904,32V \approx 904{,}32 cm³.

📐 Formules clés

Boule : V=43πr3V = \dfrac{4}{3}\pi r^3
Surface d'une sphère : S=4πr2S = 4\pi r^2
Hémisphère : V=23πr3V = \dfrac{2}{3}\pi r^3

🎨 Illustrations

Puissance du rayon
Comparer deux sphères : quand le rayon double, le volume est multiplié par 8

Le rayon passe de rr à 2r2r : chaque longueur double, mais le volume dépend du cube du rayon, donc V′=23×V=8VV' = 2^3 \times V = 8V.

Deux spheres de rayons r et 2r Le schema montre deux spheres, l'une de rayon r = 3 cm et l'autre de rayon double 2r = 6 cm, avec leurs volumes V = 113,04 cm3 et V' = 904,32 cm3, dans un rapport de 8. Rayon × 2 → Volume × 2³ = 8 r = 3 cm 2r = 6 cm Sphere 1 Sphere 2 V = 113,04 cm3 V' = 904,32 cm3
  • 1 Ici r=3r = 3 cm et 2r=62r = 6 cm : ce sont les mêmes valeurs que dans l'exemple du cours, pour vérifier la cohérence des deux calculs.
  • 2 V=43πr3≈113,04V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \approx 113{,}04 cm³ pour la petite sphère, avec π≈3,14\pi \approx 3{,}14.
  • 3 V′=43π(2r)3=23×43πr3=8V≈904,32V' = \dfrac{4}{3}\pi (2r)^3 = 2^3 \times \dfrac{4}{3}\pi r^3 = 8V \approx 904{,}32 cm³ : on vérifie 904,32÷113,04=8904{,}32 \div 113{,}04 = 8.
Ce qu'il faut lire : Ne confonds pas facteur de longueur et facteur de volume : le rayon double (facteur 22) mais le volume est multiplié par 23=82^3 = 8, pas par 22.
Deux sphères de rayons r=3r = 3 cm et 2r=62r = 6 cm : leurs volumes sont dans un rapport de 8=238 = 2^3.
Piège
Doubler une arête range huit cubes, pas deux

Le schéma précédent l'affirme avec deux sphères ; celui-ci te laisse le compter. Un cube dont l'arête double se remplit exactement par huit copies du petit — quatre devant, quatre derrière. Rien à croire sur parole : les cases sont là.

Un cube d'arete doublee contient huit petits cubes A gauche, un petit cube dessine en perspective, dont l'arete est notee a. A droite, un cube dont l'arete vaut exactement le double : ses trois faces visibles sont partagees en quatre par un trait vertical et un trait horizontal, si bien que le grand cube apparait decoupe en huit cubes de la taille du petit, quatre devant et quatre derriere. Le lecteur peut donc compter huit copies du petit cube dans le grand, alors que l'arete n'a ete multipliee que par deux. arête a le petit cube une seule case arête × 2 arête 2a 1 2 3 4 quatre cases devant et quatre derrière huit en tout
  • 1 Le grand cube contient quatre cases visibles devant et quatre cachées derrière : huit en tout, jamais deux.
  • 2 Le calcul le confirme : (2a)3=23×a3=8a3(2a)^3 = 2^3 \times a^3 = 8a^3. L'exposant 33 vient des trois directions de l'espace, et chacune double.
  • 3 Le même raisonnement vaut pour une boule, un cône ou n'importe quel solide : agrandir toutes les longueurs d'un facteur kk multiplie le volume par k3k^3.
  • 4 Une aire, elle, serait multipliée par k2k^2 seulement — c'est ce qu'on voit sur une face du cube, découpée en quatre cases et non en huit.
  • 5 Le réflexe utile : pour une longueur, kk ; pour une aire, k2k^2 ; pour un volume, k3k^3. L'exposant est le nombre de dimensions de la grandeur.
Ce qu'il faut lire : Compte les cases dessinées sur la face avant du grand cube : il y en a quatre. Ajoute-leur les quatre qui se cachent derrière, marquées par les traits en pointillés. Chacune a la taille du petit cube de gauche.
Un cube d'arête aa et son agrandissement d'arête 2a2a, découpé en huit cubes de la taille du premier.
Piège
Prendre le diamètre pour le rayon multiplie le résultat par huit

Une boule de diamètre 1010 cm. Utiliser 1010 dans la formule au lieu de 55 ne fait pas « un peu trop » : cela donne huit fois le vrai volume, exactement le facteur du schéma précédent. Et rien dans le résultat ne signale l'erreur, puisque les deux nombres sont plausibles.

Le rayon et le diametre d'une meme boule A gauche, une boule vue de face avec deux cotes tracees : le rayon, qui va du centre au bord et mesure cinq centimetres, et le diametre, qui traverse toute la boule d'un bord a l'autre et mesure dix centimetres. A droite, deux calculs superposes. Celui du haut, en teinte accentuee, utilise le rayon cinq et donne environ cinq cent vingt-trois centimetres cubes. Celui du bas, en trait tirete et en teinte plus faible, utilise le diametre dix a la place du rayon et donne environ quatre mille cent quatre-vingt-sept centimetres cubes, soit huit fois trop. rayon 5 diamètre 10 cm l'énoncé donne souvent le diamètre le rayon vaut 5 V = 4/3 × 3,14 × 5³ V ≈ 523 cm cubes le diamètre pris pour le rayon V = 4/3 × 3,14 × 10³ V ≈ 4 187 cm cubes huit fois trop
  • 1 Données : une boule de diamètre d=10d = 10 cm, donc de rayon r=d2=5r = \dfrac{d}{2} = 5 cm. On prend π≈3,14\pi \approx 3{,}14.
  • 2 Calcul juste : V=43×3,14×53≈523V = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 5^3 \approx 523 cm³.
  • 3 Calcul fautif : V=43×3,14×103≈4 187V = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 10^3 \approx 4\,187 cm³, soit exactement huit fois le bon résultat — parce qu'on a doublé le rayon sans le vouloir.
  • 4 Aucun des deux nombres n'a l'air absurde. C'est ce qui rend cette erreur si coûteuse : elle ne se voit pas dans le résultat, seulement dans la donnée de départ.
  • 5 Le geste qui sauve : souligne dans l'énoncé le mot « rayon » ou « diamètre » avant d'écrire quoi que ce soit, et note r=d2r = \dfrac{d}{2} sur ta copie dès que c'est le diamètre qui est donné.
Ce qu'il faut lire : Compare les deux traits sur la boule de gauche : le court va du centre au bord, le long traverse tout. Regarde ensuite lequel des deux nombres a servi dans chacun des deux calculs de droite.
Une boule de diamètre 1010 cm : le calcul juste avec r=5r = 5 et le calcul fautif avec r=10r = 10, huit fois trop grand.
Méthode
Un solide composé se découpe avant de se calculer

Ce réservoir n'a pas de formule à lui. Trace le trait de séparation à l'endroit où la forme change, et tu obtiens deux solides que tu sais déjà traiter : un cylindre et une demi-boule. Il ne reste qu'à additionner.

Un reservoir decoupe en un cylindre et une demi-boule A gauche, un reservoir dessine de face : un cylindre de rayon trois centimetres et de hauteur huit centimetres, surmonte d'une demi-boule de meme rayon. Un trait horizontal marque bien visiblement l'endroit ou la forme change, c'est-a-dire le haut du cylindre. A droite, les deux morceaux sont traites separement : le volume du cylindre vaut environ deux cent vingt-six centimetres cubes, celui de la demi-boule environ cinquante-sept centimetres cubes, et leur somme donne le volume total du reservoir, environ deux cent quatre-vingt-trois centimetres cubes. ici la forme change 3 cm hauteur 8 cm le réservoir entier morceau du haut demi-boule : 2/3 × 3,14 × 3³ soit 56,52 cm cubes morceau du bas cylindre : 3,14 × 3² × 8 soit 226,08 cm cubes total : 282,60 cm cubes on additionne, car les deux morceaux sont posés l'un sur l'autre
  • 1 Le trait de séparation se pose là où la forme change : ici au sommet du cylindre, qui est aussi le plat de la demi-boule.
  • 2 Volume du cylindre : V=πr2h=3,14×32×8=226,08V = \pi r^2 h = 3{,}14 \times 3^2 \times 8 = 226{,}08 cm³.
  • 3 Volume de la demi-boule : V=23πr3=23×3,14×33=56,52V = \dfrac{2}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3} \times 3{,}14 \times 3^3 = 56{,}52 cm³.
  • 4 Total : 226,08+56,52=282,60226{,}08 + 56{,}52 = 282{,}60 cm³. On additionne parce que les deux morceaux sont posés l'un sur l'autre.
  • 5 Quand soustraire : si un solide est creusé dans un autre — un trou cylindrique dans un pavé, par exemple — on retire le volume du creux au lieu de l'ajouter. Le découpage est le même, seul le signe change.
Ce qu'il faut lire : Repère d'abord le trait qui traverse le réservoir : il sépare les deux morceaux. Retrouve ensuite chacun d'eux dans les deux cadres de droite, avec sa formule et son volume.
Un réservoir découpé en un cylindre de rayon 33 cm et de hauteur 88 cm surmonté d'une demi-boule de même rayon, avec le détail des deux volumes.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 — c'est le RAYON au cube, pas le diamètre !

✅ La suggestion

Si on donne le diamètre dd, ne pas oublier r=d/2r = d/2 avant de calculer r3r^3.

💡 À retenir

  • La formule de la boule est V=43πr3V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 — le volume dépend du cube du rayon.
  • Doubler le rayon multiplie le volume par 23=82^3 = 8 — pas par 22 ! C'est la principale source d'erreur.
  • Toujours vérifier si l'énoncé donne le rayon ou le diamètre (r=d/2r = d/2).
  • Pour un solide composé : décomposer en formes simples, calculer chaque volume, puis additionner (ou soustraire).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul du volume d'un réservoir sphérique, d'une planète, d'une bulle de gaz

Mots-clés associés : SphèreBouleVolumeSolides composésRayon
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