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Volumes : sphère et solides composés

Formule de la sphère, assemblages

🔬 Application physique-chimie : Calcul du volume d'un réservoir sphérique, d'une planète, d'une bulle de gaz

La sphère est la surface des points à distance $r$ d'un centre ; la boule est le volume plein qu'elle délimite. La formule $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ porte le cube du rayon : doubler le rayon multiplie le volume par $8$ , pas par $2$ !

Cette sensibilité au rayon explique pourquoi les cellules biologiques ne dépassent pas une certaine taille : leur surface (en $r^2$ ) ne peut plus suffire aux échanges si le volume (en $r^3$ ) croît trop vite.

Pour les solides composés : décomposer en formes simples (boule, cylindre, cône, pyramide), calculer chaque volume, puis additionner — ou soustraire si un solide est creusé dans un autre.

📖 Vocabulaire clé

Sphère : La surface formée par tous les points situés à la même distance

r

d'un point central. La sphère est « creuse » : elle n'inclut que la surface.

Boule : Le volume délimité par une sphère : la boule contient tous les points à distance

\leq r

du centre. C'est la sphère « pleine ».

Rayon : La distance

r

du centre à n'importe quel point de la sphère. Attention : si l'énoncé donne le diamètre

d

, il faut calculer

r = \dfrac{d}{2}

avant d'appliquer les formules.

Solide composé : Solide formé par assemblage de solides simples (cylindre + cône, boule creusée, etc.). Son volume se calcule par addition ou soustraction des volumes des parties.

📋 Méthode en 3 étapes

1 Étape 1 : Identifier les composantes du solide (boule, cône, cylindre, pyramide…).
Exemple : une figurine = cylindre + demi-sphère.
2 Étape 2 : Calculer le volume de chaque partie avec la formule adaptée.
Exemple : $V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ , $V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h$ .
3 Étape 3 : Combiner — additionner les volumes si juxtaposés, soustraire si un solide est creusé dans un autre.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Calculer le volume d'une boule de rayon

r = 6

cm. On prendra

\pi \approx 3{,}14

Démarche :

Formule : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ .
Calcul de $r^3$ : $6^3 = 216$ . Puis $V = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 216 = \dfrac{4 \times 3{,}14 \times 216}{3}$ .
Résultat : $V = \dfrac{2\,713{,}44}{3} \approx 904{,}32$ cm³.

Réponse :

V \approx 904{,}32

cm³.

📐 Formules clés

Boule :

V = \dfrac{4}{3}\pi r^3

Surface d'une sphère :

S = 4\pi r^2

Hémisphère :

V = \dfrac{2}{3}\pi r^3

🎨 Illustration

Puissance du rayon

Comparer deux sphères : quand le rayon double, le volume est multiplié par 8

Le rayon passe de $r$ à $2r$ : chaque longueur double, mais le volume dépend du cube du rayon, donc $V' = 2^3 \times V = 8V$ .

1 Ici $r = 3$ cm et $2r = 6$ cm : ce sont les mêmes valeurs que dans l'exemple du cours, pour vérifier la cohérence des deux calculs.
2 $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \approx 113{,}04$ cm³ pour la petite sphère, avec $\pi \approx 3{,}14$ .
3 $V' = \dfrac{4}{3}\pi (2r)^3 = 2^3 \times \dfrac{4}{3}\pi r^3 = 8V \approx 904{,}32$ cm³ : on vérifie $904{,}32 \div 113{,}04 = 8$ .

Ce qu'il faut lire : Ne confonds pas facteur de longueur et facteur de volume : le rayon double (facteur

2

) mais le volume est multiplié par

2^3 = 8

, pas par

2

Deux sphères de rayons

r = 3

cm et

2r = 6

cm : leurs volumes sont dans un rapport de

8 = 2^3

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ — c'est le RAYON au cube, pas le diamètre !

✅ La suggestion

Si on donne le diamètre $d$ , ne pas oublier $r = d/2$ avant de calculer $r^3$ .

💡 À retenir

La formule de la boule est $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ — le volume dépend du cube du rayon.
Doubler le rayon multiplie le volume par $2^3 = 8$ — pas par $2$ ! C'est la principale source d'erreur.
Toujours vérifier si l'énoncé donne le rayon ou le diamètre ( $r = d/2$ ).
Pour un solide composé : décomposer en formes simples, calculer chaque volume, puis additionner (ou soustraire).

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Calcul du volume d'un réservoir sphérique, d'une planète, d'une bulle de gaz

Mots-clés associés : SphèreBouleVolumeSolides composésRayon

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