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Statistiques et probabilités (approfondissement)

Fréquences, tableaux croisés, probabilités conditionnelles intro

Un tableau croisé (ou de contingence) analyse simultanément deux caractères d'une population et révèle leurs dépendances éventuelles. La clé est de distinguer deux types de fréquences.

La fréquence globale : effectif de la case / total général — répond à « quelle proportion dans toute la population ? ».
La fréquence conditionnelle : effectif / total de la sous-population — répond à « parmi les personnes de type $B$ , quelle proportion est de type $A$ ? ».

Deux caractères sont indépendants si la fréquence conditionnelle est égale à la fréquence globale : connaître l'un ne donne aucune information sur l'autre.

Cette notion est fondamentale en statistique et médecine (tests cliniques, études épidémiologiques).

📖 Vocabulaire clé

Tableau croisé : Tableau à double entrée qui croise deux caractères d'une population. Les lignes représentent un caractère, les colonnes un autre, et chaque case contient un effectif.

Fréquence globale : Proportion d'une case par rapport au total général :

f = \dfrac{n_{ij}}{N}

. Elle répond à « quelle part de la population totale ? ».

Fréquence conditionnelle : Proportion d'une case par rapport au total d'une sous-population :

f_{A|B} = \dfrac{n(A \cap B)}{n(B)}

. Elle répond à « parmi les

B

, quelle part est

A

? ».

Indépendance : Deux caractères sont indépendants si connaître l'un ne change pas la probabilité de l'autre :

P(A|B) = P(A)

, soit

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

📋 Méthode en 3 étapes

1 Étape 1 : Lire le tableau — les lignes représentent un caractère, les colonnes un autre. Les marges donnent les totaux (lignes et colonnes).
2 Étape 2 : Fréquence globale : $f = \dfrac{\text{effectif de la case}}{\text{effectif total}}$ .
Question : « Quelle proportion dans TOUTE la population ? »
3 Étape 3 : Fréquence conditionnelle : $f_{A|B} = \dfrac{\text{effectif}(A \cap B)}{\text{effectif de }B}$ .
Question : « Parmi les $B$ , quelle proportion est aussi $A$ ? »

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans un collège de

200

élèves, on recense

80

sportifs et

60

musiciens, dont

25

qui pratiquent les deux. Calculer les fréquences globale et conditionnelle de la musique parmi les sportifs.

Démarche :

Fréquence globale des musiciens-sportifs : $f = \dfrac{25}{200} = 0{,}125 = 12{,}5\%$ de la population totale.
Fréquence conditionnelle de la musique parmi les sportifs : $f_{M|S} = \dfrac{25}{80} = 0{,}3125 = 31{,}25\%$ .
Interprétation : dans la population globale, $12{,}5\%$ font sport ET musique. Mais parmi les sportifs seuls, $31{,}25\%$ font aussi de la musique — la sous-population de référence change tout.

Réponse : Fréquence globale

= 0{,}125

; fréquence conditionnelle

f_{M|S} = 0{,}3125

📐 Formules clés

Fréquence globale :

f = \dfrac{n_{ij}}{N}

Fréquence en ligne :

f_{i|j} = \dfrac{n_{ij}}{n_{j}}

Probabilité :

P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

(introduction)

🎨 Illustration

Diagramme de Venn

Sportifs et musiciens parmi 200 élèves

Représentation du tableau croisé de l'exemple : $80$ sportifs, $60$ musiciens, dont $25$ pratiquent les deux activités, sur un total de $200$ élèves du collège.

1 Zone commune aux deux cercles : $25$ élèves pratiquent à la fois un sport et un instrument — comptés une seule fois même s'ils appartiennent aux deux groupes.
2 Zone « Sportifs » seule : $80 - 25 = 55$ élèves. Zone « Musiciens » seule : $60 - 25 = 35$ élèves — chaque effectif de départ moins l'intersection commune.
3 En dehors des deux cercles : $200 - (55 + 35 + 25) = 85$ élèves ne pratiquent ni sport ni musique — c'est la case « Non sportif / Non musicien » du tableau croisé.

Ce qu'il faut lire : Chaque nombre correspond à une case du tableau croisé de l'exemple : les deux cercles se chevauchent pour représenter les

25

élèves comptés dans les deux catégories à la fois. En additionnant les quatre zones (

55 + 35 + 25 + 85

), on retrouve bien le total de

200

élèves.

Diagramme de Venn équivalent au tableau croisé « Sportifs / Musiciens » (200 élèves, dont 25 dans les deux catégories).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

la fréquence conditionnelle dépend de la population de référence (ligne ou colonne).

✅ La suggestion

$\frac{n_{ij}}{N}$ et $\frac{n_{ij}}{n_j}$ ne donnent pas le même résultat. Toujours préciser « parmi les… ».

💡 À retenir

La fréquence globale divise par le total général $N$ ; la fréquence conditionnelle divise par le total de la sous-population.
Pour l'union : $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ — ne pas oublier de soustraire l'intersection.
$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$ — la formule de la probabilité de l'intersection.
Deux caractères sont indépendants si $P(A|B) = P(A)$ : savoir que quelqu'un est $B$ ne change pas la probabilité d'être $A$ .

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