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Statistiques et probabilités (approfondissement)

Fréquences, tableaux croisés, probabilités conditionnelles intro

Un test de dépistage est annoncé comme « fiable à 9999 \% ». Tu le passes, il ressort positif.

Quelle est la probabilité que tu sois réellement malade ?

La réponse qui vient spontanément est 9999 \%. Elle est fausse, et de très loin. Prends 10 00010\,000 personnes, dans une population où la maladie touche une personne sur mille.

Il y a donc 1010 malades, dont le test en détecte 1010. Et il y a 9 9909\,990 personnes saines, dont le test se trompe sur 11 \% : cela fait environ 100100 personnes saines déclarées positives.

Au total, 110110 personnes reçoivent un résultat positif, et seulement 1010 d'entre elles sont malades. Ta probabilité d'être malade est donc d'environ 10110\dfrac{10}{110}, soit moins de 1010 \%.

Où était le piège ? Dans le mot « parmi ». Le 9999 \% annoncé se lit parmi les malades : presque tous sont détectés. Ce que tu veux savoir, c'est une proportion parmi les testés positifs — une autre sous-population, et donc un autre nombre. Intervertis ces deux lectures, et un médecin se trompe de diagnostic, un jury condamne un innocent.

Un tableau croisé (ou de contingence) sert exactement à démêler cela : il analyse deux caractères d'une même population en même temps et révèle leurs dépendances. La clé est de distinguer deux types de fréquences.

La fréquence globale : effectif de la case / total général — répond à « quelle proportion dans toute la population ? ».
La fréquence conditionnelle : effectif / total de la sous-population — répond à « parmi les personnes de type BB, quelle proportion est de type AA ? ».

Deux caractères sont indépendants si la fréquence conditionnelle est égale à la fréquence globale : connaître l'un ne donne aucune information sur l'autre.

Cette notion est fondamentale en statistique et médecine (tests cliniques, études épidémiologiques).

📖 Vocabulaire clé

Tableau croisé : Tableau à double entrée qui croise deux caractères d'une population. Les lignes représentent un caractère, les colonnes un autre, et chaque case contient un effectif.
Fréquence globale : Proportion d'une case par rapport au total général : f=nijNf = \dfrac{n_{ij}}{N}. Elle répond à « quelle part de la population totale ? ».
Fréquence conditionnelle : Proportion d'une case par rapport au total d'une sous-population : fA∣B=n(A∩B)n(B)f_{A|B} = \dfrac{n(A \cap B)}{n(B)}. Elle répond à « parmi les BB, quelle part est AA ? ».
Indépendance : Deux caractères sont indépendants si connaître l'un ne change pas la probabilité de l'autre : P(A∣B)=P(A)P(A|B) = P(A), soit P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B).

📋 Méthode en 3 étapes

  1. 1 Étape 1 : Lire le tableau — les lignes représentent un caractère, les colonnes un autre. Les marges donnent les totaux (lignes et colonnes).
  2. 2 Étape 2 : Fréquence globale : f=effectif de la caseeffectif totalf = \dfrac{\text{effectif de la case}}{\text{effectif total}}.
    Question : « Quelle proportion dans TOUTE la population ? »
  3. 3 Étape 3 : Fréquence conditionnelle : fA∣B=effectif(A∩B)effectif de Bf_{A|B} = \dfrac{\text{effectif}(A \cap B)}{\text{effectif de }B}.
    Question : « Parmi les BB, quelle proportion est aussi AA ? »

✅ Exemple résolu

Énoncé : Dans un collège de 200200 élèves, on recense 8080 sportifs et 6060 musiciens, dont 2525 qui pratiquent les deux. Calculer les fréquences globale et conditionnelle de la musique parmi les sportifs.
Démarche :
  1. Fréquence globale des musiciens-sportifs : f=25200=0,125=12,5%f = \dfrac{25}{200} = 0{,}125 = 12{,}5\% de la population totale.
  2. Fréquence conditionnelle de la musique parmi les sportifs : fM∣S=2580=0,3125=31,25%f_{M|S} = \dfrac{25}{80} = 0{,}3125 = 31{,}25\%.
  3. Interprétation : dans la population globale, 12,5%12{,}5\% font sport ET musique. Mais parmi les sportifs seuls, 31,25%31{,}25\% font aussi de la musique — la sous-population de référence change tout.
Réponse : Fréquence globale =0,125= 0{,}125 ; fréquence conditionnelle fM∣S=0,3125f_{M|S} = 0{,}3125.

📐 Formules clés

Fréquence globale : f=nijNf = \dfrac{n_{ij}}{N}
Fréquence en ligne : fi∣j=nijnjf_{i|j} = \dfrac{n_{ij}}{n_{j}}
Probabilité : P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} (introduction)

🎨 Illustrations

Diagramme de Venn
Sportifs et musiciens parmi 200 élèves

Représentation du tableau croisé de l'exemple : 8080 sportifs, 6060 musiciens, dont 2525 pratiquent les deux activités, sur un total de 200200 élèves du collège.

Diagramme de Venn des sportifs et des musiciens Deux cercles qui se chevauchent representant les sportifs et les musiciens parmi 200 eleves, avec 55 eleves uniquement sportifs, 35 uniquement musiciens, 25 dans les deux a la fois, et 85 en dehors des deux groupes. Sportifs Musiciens N = 200 élèves 55 25 35 85 aucun des deux
  • 1 Zone commune aux deux cercles : 2525 élèves pratiquent à la fois un sport et un instrument — comptés une seule fois même s'ils appartiennent aux deux groupes.
  • 2 Zone « Sportifs » seule : 80−25=5580 - 25 = 55 élèves. Zone « Musiciens » seule : 60−25=3560 - 25 = 35 élèves — chaque effectif de départ moins l'intersection commune.
  • 3 En dehors des deux cercles : 200−(55+35+25)=85200 - (55 + 35 + 25) = 85 élèves ne pratiquent ni sport ni musique — c'est la case « Non sportif / Non musicien » du tableau croisé.
Ce qu'il faut lire : Chaque nombre correspond à une case du tableau croisé de l'exemple : les deux cercles se chevauchent pour représenter les 2525 élèves comptés dans les deux catégories à la fois. En additionnant les quatre zones (55+35+25+8555 + 35 + 25 + 85), on retrouve bien le total de 200200 élèves.
Diagramme de Venn équivalent au tableau croisé « Sportifs / Musiciens » (200 élèves, dont 25 dans les deux catégories).
Piège
Une même case, trois dénominateurs, trois réponses

Les 2525 élèves qui font du sport et de la musique ne changent pas. Pourtant, selon la population à laquelle tu les compares, tu obtiens 12,5 %12{,}5\,\%, 31,3 %31{,}3\,\% ou 41,7 %41{,}7\,\%. Le nombre du haut ne suffit jamais : c'est celui du bas qui décide.

Trois frequences pour un meme effectif de vingt-cinq eleves Trois barres horizontales de meme longueur totale representent trois populations de reference. La premiere porte sur les deux cents eleves du college : la portion remplie, qui correspond aux vingt-cinq eleves a la fois sportifs et musiciens, y occupe douze et demi pour cent de la barre. La deuxieme porte sur les quatre-vingts sportifs : la meme portion de vingt-cinq eleves y occupe trente et un virgule trois pour cent, soit une portion nettement plus longue. La troisieme porte sur les soixante musiciens : la meme portion de vingt-cinq eleves y occupe quarante et un virgule sept pour cent, la plus longue des trois. L'effectif rempli est identique dans les trois barres, seule la population de reference change, et les trois pourcentages obtenus sont tres differents. sur les 200 eleves 12,5 % 25 divise par 200 parmi les 80 sportifs 31,3 % 25 divise par 80 parmi les 60 musiciens 41,7 % 25 divise par 60 le meme effectif de 25 eleves dans les trois barres
  • 1 Le numérateur est le même partout : ce sont toujours les 2525 élèves de la case « sportif et musicien ». C'est le dénominateur qui change, et lui seul.
  • 2 25200=12,5 %\dfrac{25}{200} = 12{,}5\,\% répond à « quelle part de tout le collège ? ». C'est une fréquence globale.
  • 3 2580≈31,3 %\dfrac{25}{80} \approx 31{,}3\,\% répond à « parmi les sportifs, quelle part fait aussi de la musique ? ». C'est une fréquence conditionnelle.
  • 4 2560≈41,7 %\dfrac{25}{60} \approx 41{,}7\,\% répond à « parmi les musiciens, quelle part fait aussi du sport ? ». C'est encore une conditionnelle — mais ce n'est pas la même que la précédente, et l'écart entre 31,331{,}3 et 41,741{,}7 le prouve.
  • 5 Le contrôle qui sauve : avant de diviser, relis l'énoncé et souligne le groupe qui suit le mot « parmi ». Ce groupe est ton dénominateur, toujours.
Ce qu'il faut lire : Les trois barres ont la même longueur parce qu'elles représentent chacune la totalité de leur population. La portion remplie, elle, représente toujours les mêmes 2525 élèves — et tu vois qu'elle occupe une place de plus en plus grande à mesure que la population de référence rétrécit.
Les 2525 élèves à la fois sportifs et musiciens, rapportés successivement aux 200200 élèves, aux 8080 sportifs puis aux 6060 musiciens.
Du tableau à l'arbre
Sur un arbre, le dénominateur est celui de la branche précédente

Le même tableau croisé, redessiné en arbre. L'intérêt n'est pas décoratif : sur un arbre, tu ne choisis plus le dénominateur, tu le lis. Chaque probabilité du second niveau se divise par l'effectif de la branche d'où elle part.

Arbre de probabilites des sportifs et des musiciens Un arbre part d'un point de depart representant les deux cents eleves. Deux branches en partent : celle des quatre-vingts sportifs, de probabilite zero virgule quatre, et celle des cent vingt non sportifs, de probabilite zero virgule six. De la branche des sportifs partent deux sous-branches : vingt-cinq eleves musiciens, soit vingt-cinq divise par quatre-vingts, et cinquante-cinq eleves non musiciens, soit cinquante-cinq divise par quatre-vingts. De la branche des non sportifs partent aussi deux sous-branches : trente-cinq eleves musiciens, soit trente-cinq divise par cent vingt, et quatre-vingt-cinq non musiciens, soit quatre-vingt-cinq divise par cent vingt. Sur chaque couple de sous-branches, les deux effectifs s'ajoutent pour redonner l'effectif de la branche dont ils partent, et les deux probabilites s'ajoutent pour donner un. 200 0,4 0,6 80 sportifs 120 non sportifs 25 sur 80 55 sur 80 25 musiciens 55 non musiciens 35 sur 120 85 sur 120 35 musiciens 85 non musiciens sur chaque paire de branches, les deux effectifs redonnent celui du depart
  • 1 Au premier niveau, on divise par 200200 : 80200=0,4\dfrac{80}{200} = 0{,}4 et 120200=0,6\dfrac{120}{200} = 0{,}6. Ces deux-là s'ajoutent bien pour donner 11.
  • 2 Au second niveau, le dénominateur n'est plus 200200 : c'est l'effectif de la branche d'où l'on part. En haut on divise par 8080, en bas par 120120.
  • 3 Chaque paire de sous-branches redonne sa branche : 25+55=8025 + 55 = 80, et 35+85=12035 + 85 = 120. Si ce contrôle échoue, une valeur du tableau a été mal reportée.
  • 4 Pour revenir à une fréquence globale, on multiplie le long du chemin : 0,4×2580=0,1250{,}4 \times \dfrac{25}{80} = 0{,}125, et l'on retrouve les 12,5 %12{,}5\,\% du schéma précédent.
  • 5 C'est là tout l'intérêt de l'arbre : il ne te laisse pas le choix du dénominateur, donc il ne te laisse pas commettre l'erreur.
Ce qu'il faut lire : Lis toujours un arbre de la gauche vers la droite, une branche après l'autre. Pour une probabilité conditionnelle, tu ne regardes qu'une seule sous-branche ; pour une fréquence globale, tu multiplies tout le chemin depuis le départ.
Arbre du tableau croisé « Sportifs / Musiciens » : les dénominateurs du second niveau valent 8080 et 120120, jamais 200200.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

la fréquence conditionnelle dépend de la population de référence (ligne ou colonne).

✅ La suggestion

nijN\frac{n_{ij}}{N} et nijnj\frac{n_{ij}}{n_j} ne donnent pas le même résultat. Toujours préciser « parmi les… ».

💡 À retenir

  • La fréquence globale divise par le total général NN ; la fréquence conditionnelle divise par le total de la sous-population.
  • Pour l'union : ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| — ne pas oublier de soustraire l'intersection.
  • P(A∩B)=P(A∣B)×P(B)P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) — la formule de la probabilité de l'intersection.
  • Deux caractères sont indépendants si P(A∣B)=P(A)P(A|B) = P(A) : savoir que quelqu'un est BB ne change pas la probabilité d'être AA.
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