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Identités remarquables

(a+b)2(a+b)^2, (a−b)2(a-b)^2, (a+b)(a−b)(a+b)(a-b)

Calculer 99×10199 \times 101 de tête, en moins de deux secondes, sans poser l'opération ? C'est possible : 99×101=(100−1)(100+1)=10 000−1=9 99999 \times 101 = (100-1)(100+1) = 10\,000 - 1 = 9\,999. Ce raccourci n'est pas un hasard — il repose sur les identités remarquables.

Les trois identités remarquables sont des égalités algébriques vraies pour toutes valeurs de aa et bb. Elles permettent deux opérations inverses : développer (produit → somme) et factoriser (somme → produit).

Erreur classique à éviter : (a+b)2≠a2+b2(a+b)^2 \neq a^2 + b^2. Le terme croisé 2ab2ab est souvent oublié : (3+4)2=49≠9+16=25(3+4)^2 = 49 \neq 9 + 16 = 25.

Pour factoriser x2−kx^2 - k : si kk est un carré parfait, appliquer la 3e identité ; sinon, écrire x2−k=(x−k)(x+k)x^2 - k = (x - \sqrt{k})(x + \sqrt{k}).

📖 Vocabulaire clé

Développer : Transformer un produit en somme.

Exemple : (a+b)2(a+b)^2 devient a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2. On « ouvre » les parenthèses.
Factoriser : Transformer une somme en produit — l'opération inverse du développement.

Exemple : a2−b2a^2 - b^2 devient (a+b)(a−b)(a+b)(a-b).
Identité remarquable : Égalité algébrique toujours vraie, quelles que soient les valeurs de aa et bb. Il y en a trois à connaître par cœur en 3e.
Double produit : Le terme 2ab2ab qui apparaît dans (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + \boldsymbol{2ab} + b^2. C'est le terme le plus souvent oublié — source de l'erreur classique (a+b)2=a2+b2(a+b)^2 = a^2 + b^2.

📋 Les trois identités à retenir

  1. 1 Identité 1 — Carré d'une somme : (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
    Exemple : (3+2)2=9+12+4=25(3+2)^2 = 9 + 12 + 4 = 25 ✓
  2. 2 Identité 2 — Carré d'une différence : (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
    Exemple : (7−3)2=49−42+9=16(7-3)^2 = 49 - 42 + 9 = 16 ✓
  3. 3 Identité 3 — Produit somme × différence : (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2.
    Exemple : 101×99=(100+1)(100−1)=10 000−1=9 999101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10\,000 - 1 = 9\,999 ✓

✅ Exemple résolu

Énoncé : Développer (3x+2)2(3x + 2)^2.
Démarche :
  1. Identifier aa et bb : ici a=3xa = 3x et b=2b = 2. On applique la 1re identité : (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
  2. Calculer chaque terme : a2=(3x)2=9x2a^2 = (3x)^2 = 9x^2, 2ab=2×3x×2=12x2ab = 2 \times 3x \times 2 = 12x, b2=22=4b^2 = 2^2 = 4.
  3. Assembler : (3x+2)2=9x2+12x+4(3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4. On vérifie : pour x=1x = 1, (3+2)2=25(3+2)^2 = 25 et 9+12+4=259 + 12 + 4 = 25 ✓
Réponse : (3x+2)2=9x2+12x+4(3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4.

📐 Formules clés

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

🎨 Illustrations

Preuve géométrique
Le carré (a+b)2(a+b)^2 découpé en quatre aires

Chaque partie du carré correspond à un terme de l'identité remarquable : deux carrés et deux rectangles identiques, illustrés ici avec a=3a = 3 et b=2b = 2 (le même exemple que dans la méthode ci-dessus).

Decoupage du carre (a+b) au carre en quatre aires Le schema montre un carre de cote a+b decoupe en un carre a au carre, deux rectangles ab, et un carre b au carre, avec a = 3 et b = 2. a b a b a² 3 × 3 = 9 ab 3 × 2 = 6 ab 2 × 3 = 6 b² 2 × 2 = 4 (3 + 2)² = 9 + 6 + 6 + 4 = 25
  • 1 Le carré de côté (a+b)(a+b) se découpe en 4 rectangles : un carré a2a^2, un carré b2b^2, et deux rectangles identiques d'aire abab.
  • 2 Les deux rectangles abab ont la même aire : c'est exactement le terme 2ab2ab souvent oublié dans (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
  • 3 Avec a=3a = 3 et b=2b = 2 : 9+6+6+4=259 + 6 + 6 + 4 = 25, ce qui correspond bien à (3+2)2=52=25(3+2)^2 = 5^2 = 25.
Ce qu'il faut lire : L'aire totale du grand carré, (a+b)2(a+b)^2, est la somme des 4 aires internes : c'est une preuve visuelle de l'identité remarquable.
Découpage géométrique de (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, illustré avec a=3a = 3 et b=2b = 2 (exemple repris de la méthode).
Piège
Ce que coûte le double produit oublié

Écrire (a+b)2=a2+b2(a+b)^2 = a^2 + b^2 ne revient pas à se tromper d'un peu : avec a=6a = 6 et b=4b = 4, cette écriture oublie près de la moitié du carré. Les deux rectangles manquants sont visibles à l'œil nu.

Le carre complet et le carre ampute du double produit A gauche, le carre de cote a plus b, avec a valant 6 et b valant 4, est decoupe en quatre morceaux : le carre a au carre en bas a gauche, le carre b au carre en haut a droite, et les deux rectangles a fois b qui les relient ; son aire totale vaut cent. A droite, la meme figure ou seuls les deux carres sont conserves, les deux rectangles etant laisses vides et bordes de tirets ; l'aire conservee ne vaut plus que cinquante-deux, soit un peu plus de la moitie. La partie oubliee, quarante-huit unites, est exactement le double produit deux a b. le carré entier 36 16 24 24 total 100 ce que garde a² + b² 36 16 oublié oublié total 52
  • 1 Avec a=6a = 6 et b=4b = 4 : le carré entier vaut (6+4)2=100(6+4)^2 = 100, alors que a2+b2=36+16=52a^2 + b^2 = 36 + 16 = 52.
  • 2 Ce qui manque est exactement le double produit : 2ab=2×6×4=482ab = 2 \times 6 \times 4 = 48, soit les deux rectangles laissés vides.
  • 3 4848 sur 100100, c'est 48%48\% du carré. L'écriture (a+b)2=a2+b2(a+b)^2 = a^2 + b^2 n'est pas une petite imprécision, elle perd presque la moitié de la surface.
  • 4 Le contrôle qui sauve : quand tu connais la valeur des lettres, calcule la parenthèse d'abord. Ici 6+4=106 + 4 = 10, donc 102=10010^2 = 100. Un écart avec ton développement signale l'oubli immédiatement.
Ce qu'il faut lire : Compare les deux figures : elles ont le même cadre et la même échelle, et la seule différence est ce qui est rempli. Les deux zones en tirets sont ce que le double produit apporte.
Le carré (a+b)2(a+b)^2 complet à gauche, amputé de son double produit à droite, avec a=6a = 6 et b=4b = 4.
Pas à pas
Pourquoi a2−b2a^2 - b^2 devient un rectangle

Retirer un petit carré à un grand laisse une équerre. Cette équerre se découpe en deux morceaux qui se recollent exactement en un rectangle de côtés (a+b)(a+b) et (a−b)(a-b) : c'est la troisième identité, vue de ses propres yeux. Illustré avec a=5a = 5 et b=2b = 2.

De l equerre au rectangle Trois vignettes de gauche a droite. Premiere vignette : un carre de cote cinq dont on a retire un petit carre de cote deux dans le coin en haut a droite ; il reste une equerre d aire vingt et un. Deuxieme vignette : la meme equerre, coupee en deux par un trait horizontal, ce qui donne une bande basse de cinq sur trois et une bande haute de trois sur deux. Troisieme vignette : les deux bandes remises bout a bout forment un rectangle de sept sur trois, d aire vingt et un elle aussi. Sept vaut cinq plus deux et trois vaut cinq moins deux, ce qui montre que a au carre moins b au carre egale a plus b fois a moins b. on retire un carré retiré 21 25 moins 4 on la coupe en deux 6 15 6 plus 15 recollées 15 6 7 sur 3, soit 21
  • 1 Le grand carré vaut a2=25a^2 = 25, le petit b2=4b^2 = 4 : l'équerre qui reste a donc une aire de 2121.
  • 2 La coupe produit une bande de a×(a−b)=5×3=15a \times (a-b) = 5 \times 3 = 15 et une bande de (a−b)×b=3×2=6(a-b) \times b = 3 \times 2 = 6. Total : 2121, rien ne s'est perdu.
  • 3 Recollées, ces deux bandes forment un rectangle de largeur a+b=7a + b = 7 et de hauteur a−b=3a - b = 3, d'aire 7×3=217 \times 3 = 21.
  • 4 Ce que la figure démontre : a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b), et ce, sans faire aucun calcul algébrique. L'aire 2121 se retrouve aux trois étapes.
Ce qu'il faut lire : Suis l'aire 2121 d'une vignette à l'autre : c'est toujours la même surface, simplement redécoupée. La troisième vignette est la forme dont les côtés portent les noms de l'identité.
De a2−b2a^2 - b^2 à (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) : l'équerre découpée puis recollée en rectangle, avec a=5a = 5 et b=2b = 2.
La limite de l'identité
Une différence de carrés se factorise, une somme non

L'identité a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) marche si bien qu'on l'applique aussi au cas a2+b2a^2 + b^2, par symétrie. Or rien ne factorise une somme de deux carrés, et il n'existe aucune identité « remarquable » pour elle.

Difference de carres et somme de carres Deux encadres de meme taille. Celui du haut, en teinte d accent, montre la difference x au carre moins neuf, qui se factorise en x plus trois fois x moins trois ; le developpement redonne bien x au carre moins neuf. Celui du bas, en teinte faible et borde de tirets, montre la somme x au carre plus neuf : la factorisation x plus trois fois x plus trois y est barree, car son developpement donne x au carre plus six x plus neuf, avec un terme en six x qui n existe pas dans l expression de depart. une différence de carrés : elle se factorise x² − 9 = (x + 3)(x − 3) on redéveloppe : x² − 3x + 3x − 9 = x² − 9 une somme de carrés : aucune identité ne la factorise x² + 9 n est pas (x + 3)(x + 3) on redéveloppe : x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9, il reste 6x
  • 1 Dans le cas de la différence, les deux termes croisés −3x-3x et +3x+3x s'annulent : c'est exactement ce qui fait fonctionner l'identité.
  • 2 Dans le cas de la somme, les deux termes croisés valent tous les deux +3x+3x et s'ajoutent : il reste 6x6x, qui n'était pas dans l'expression de départ.
  • 3 C'est la raison profonde, et elle tient en une phrase : l'identité 3 ne marche que parce que le signe moins fait disparaître le terme en xx.
  • 4 À retenir : x2−9x^2 - 9 se factorise, x2+9x^2 + 9 non. Devant une somme de deux carrés, la bonne réponse est « elle ne se factorise pas », et c'est une réponse complète.
Ce qu'il faut lire : Compare les deux dernières lignes : c'est le même redéveloppement dans les deux cas, et seul le signe change. En haut il annule le terme en xx, en bas il le double.
La différence de deux carrés se factorise, la somme de deux carrés ne se factorise pas.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

(a+b)2≠a2+b2(a+b)^2 \neq a^2 + b^2.

✅ La suggestion

Il ne faut pas oublier le terme 2ab2ab au milieu ! (3+4)2=49≠9+16=25(3+4)^2 = 49 \neq 9 + 16 = 25.

💡 À retenir

  • Ne jamais oublier 2ab2ab : (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + \boldsymbol{2ab} + b^2. L'erreur (a+b)2=a2+b2(a+b)^2 = a^2 + b^2 est la plus fréquente en algèbre.
  • (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 : identité idéale pour le calcul mental (99×101=10000−199 \times 101 = 10000 - 1) et pour factoriser une différence de deux carrés.
  • (a+b)2≠a2+b2(a+b)^2 \neq a^2 + b^2 : vérifier systématiquement avec des nombres simples quand on hésite (par exemple a=3a = 3, b=4b = 4).
  • Factoriser : repérer un carré parfait ou une différence de carrés permet de revenir à un produit, utile pour résoudre des équations.
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