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Identités remarquables

$(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ , $(a+b)(a-b)$

Calculer $99 \times 101$ de tête, en moins de deux secondes, sans poser l'opération ? C'est possible : $99 \times 101 = (100-1)(100+1) = 10\,000 - 1 = 9\,999$ . Ce raccourci n'est pas un hasard — il repose sur les identités remarquables.

Les trois identités remarquables sont des égalités algébriques vraies pour toutes valeurs de $a$ et $b$ . Elles permettent deux opérations inverses : développer (produit → somme) et factoriser (somme → produit).

Erreur classique à éviter : $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ . Le terme croisé $2ab$ est souvent oublié : $(3+4)^2 = 49 \neq 9 + 16 = 25$ .

Pour factoriser $x^2 - k$ : si $k$ est un carré parfait, appliquer la 3e identité ; sinon, écrire $x^2 - k = (x - \sqrt{k})(x + \sqrt{k})$ .

📖 Vocabulaire clé

Développer : Transformer un produit en somme.

Exemple :

(a+b)^2

devient

a^2 + 2ab + b^2

. On « ouvre » les parenthèses.

Factoriser : Transformer une somme en produit — l'opération inverse du développement.

Exemple :

a^2 - b^2

devient

(a+b)(a-b)

Identité remarquable : Égalité algébrique toujours vraie, quelles que soient les valeurs de

a

b

. Il y en a trois à connaître par cœur en 3e.

Double produit : Le terme

2ab

qui apparaît dans

(a+b)^2 = a^2 + \boldsymbol{2ab} + b^2

. C'est le terme le plus souvent oublié — source de l'erreur classique

(a+b)^2 = a^2 + b^2

📋 Les trois identités à retenir

1 Identité 1 — Carré d'une somme : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .
Exemple : $(3+2)^2 = 9 + 12 + 4 = 25$ ✓
2 Identité 2 — Carré d'une différence : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .
Exemple : $(7-3)^2 = 49 - 42 + 9 = 16$ ✓
3 Identité 3 — Produit somme × différence : $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ .
Exemple : $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10\,000 - 1 = 9\,999$ ✓

✅ Exemple résolu

Énoncé : Développer

(3x + 2)^2

Démarche :

Identifier $a$ et $b$ : ici $a = 3x$ et $b = 2$ . On applique la 1ère identité : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .
Calculer chaque terme : $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$ , $2ab = 2 \times 3x \times 2 = 12x$ , $b^2 = 2^2 = 4$ .
Assembler : $(3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$ . On vérifie : pour $x = 1$ , $(3+2)^2 = 25$ et $9 + 12 + 4 = 25$ ✓

Réponse :

(3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4

📐 Formules clés

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

🎨 Illustration

Preuve géométrique

Le carré

(a+b)^2

découpé en quatre aires

Chaque partie du carré correspond à un terme de l'identité remarquable : deux carrés et deux rectangles identiques, illustrés ici avec $a = 3$ et $b = 2$ (le même exemple que dans la méthode ci-dessus).

1 Le carré de côté $(a+b)$ se découpe en 4 rectangles : un carré $a^2$ , un carré $b^2$ , et deux rectangles identiques d'aire $ab$ .
2 Les deux rectangles $ab$ ont la même aire : c'est exactement le terme $2ab$ souvent oublié dans $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .
3 Avec $a = 3$ et $b = 2$ : $9 + 6 + 6 + 4 = 25$ , ce qui correspond bien à $(3+2)^2 = 5^2 = 25$ .

Ce qu'il faut lire : L'aire totale du grand carré,

(a+b)^2

, est la somme des 4 aires internes : c'est une preuve visuelle de l'identité remarquable.

Découpage géométrique de

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

, illustré avec

a = 3

b = 2

(exemple repris de la méthode).

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ .

✅ La suggestion

Il ne faut pas oublier le terme $2ab$ au milieu ! $(3+4)^2 = 49 \neq 9 + 16 = 25$ .

💡 À retenir

Ne jamais oublier $2ab$ : $(a+b)^2 = a^2 + \boldsymbol{2ab} + b^2$ . L'erreur $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ est la plus fréquente en algèbre.
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ : identité idéale pour le calcul mental ( $99 \times 101 = 10000 - 1$ ) et pour factoriser une différence de deux carrés.
$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ : vérifier systématiquement avec des nombres simples quand on hésite (par exemple $a = 3$ , $b = 4$ ).
Factoriser : repérer un carré parfait ou une différence de carrés permet de revenir à un produit, utile pour résoudre des équations.

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