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Équations à Transformations

Isoler avec racine, puissance, ln et exp — aller plus loin

🔬 Application physique-chimie : De nombreuses formules en physique et en technique font intervenir des racines (impédance, énergie), des puissances (pression dynamique, énergie cinétique) ou des exponentielles (constantes de temps, décibels). Savoir les inverser est indispensable pour résoudre des problèmes de dimensionnement.

Ce module complète le module "Équations" en traitant les cas où l'inconnue est sous une racine, à une puissance, dans une exponentielle ou dans un logarithme. Ces situations apparaissent régulièrement en physique appliquée :

• Calculer une impédance ( $Z = \sqrt{R^2 + X^2}$ ) ou retrouver $R$ à partir de $Z$
• Trouver une vitesse à partir d'une énergie cinétique ( $v = \sqrt{2E_c/m}$ )
• Inverser une loi de charge RC : retrouver $t$ à partir de $u_C$
• Calculer une atténuation en dB ou retrouver un rapport de tension

📖 Vocabulaire clé

Inverser une racine carrée : Si

\sqrt{x} = a

(avec

a > 0

), alors

x = a^2

.

Si

A = \sqrt{B^2 + C^2}

, alors

B = \sqrt{A^2 - C^2}

(à condition que

A > C

Inverser une puissance : Si

x^n = a

, alors

x = a^{1/n} = \sqrt[n]{a}

.

Cas courants :
•

x^2 = a \Rightarrow x = \pm\sqrt{a}

(ne garder que la solution physique)
•

x^3 = a \Rightarrow x = \sqrt[3]{a} = a^{1/3}

Inverser une exponentielle : Si

e^x = a

, alors

x = \ln(a)

.

Si

A \cdot e^{Bx} = C

, on isole progressivement :
1.

e^{Bx} = C/A

Bx = \ln(C/A)

x = \dfrac{\ln(C/A)}{B}

Inverser un logarithme : Si

\ln(x) = a

, alors

x = e^a

.
Si

\log_{10}(x) = a

, alors

x = 10^a

.

Si

A \cdot \ln(Bx) = C

:
1.

\ln(Bx) = C/A

Bx = e^{C/A}

x = e^{C/A} / B

📋 Méthode générale : isoler l'inconnue par transformations successives

1 La règle d'or : appliquer l'opération inverse de chaque côté de l'équation.

Si on voit...	Opération inverse
$\sqrt{x}$	Mettre au carré : $( )^2$
$x^2$	Racine carrée : $\sqrt{ }$
$x^n$	Puissance $1/n$ : $( )^{1/n}$
$e^x$	Logarithme naturel : $\ln( )$
$\ln(x)$	Exponentielle : $e^{( )}$
$\log_{10}(x)$	Puissance de 10 : $10^{( )}$

3 Attention aux domaines : $\sqrt{x}$ n'existe que si $x \geq 0$ — $\ln(x)$ n'existe que si $x > 0$ — $x^2 = a$ a deux solutions ( $\pm\sqrt{a}$ ), choisir la physiquement cohérente.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Cinq applications des transformations algébriques inverses dans des contextes techniques réels.

Démarche :

Exemple 1 — Retrouver R dans $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$

Un circuit présente $Z = 100\;\Omega$ et $X_L = 60\;\Omega$ . Trouver $R$ :
$100 = \sqrt{R^2 + 60^2}$
$100^2 = R^2 + 3600$ (mise au carré des deux membres)
$R^2 = 10000 - 3600 = 6400$
$R = \sqrt{6400} = 80\;\Omega$
Exemple 2 — Trouver la vitesse depuis $E_c = \frac{1}{2}mv^2$

$E_c = 3600\;\text{J}$ , $m = 80\;\text{kg}$ . Trouver $v$ :
$3600 = \frac{1}{2} \times 80 \times v^2 = 40\,v^2$
$v^2 = 3600 / 40 = 90$
$v = \sqrt{90} \approx 9{,}49\;\text{m/s}$
Exemple 3 — Inverser une loi exponentielle RC

$u_C(t) = 12(1 - e^{-t/0{,}5})$ . À quel instant $t$ est-ce que $u_C = 9\;\text{V}$ ?
$9 = 12(1 - e^{-t/0{,}5})$
$9/12 = 1 - e^{-t/0{,}5}$
$e^{-t/0{,}5} = 1 - 0{,}75 = 0{,}25$
$-t/0{,}5 = \ln(0{,}25) = -1{,}386$
$t = 0{,}5 \times 1{,}386 = 0{,}693\;\text{s}$
Exemple 4 — Retrouver un rapport de tension depuis des dB

Un filtre atténue de $-30\;\text{dB}$ en tension. Quel est le rapport $V_s/V_e$ ?
$-30 = 20\log_{10}(V_s/V_e)$
$\log_{10}(V_s/V_e) = -30/20 = -1{,}5$
$V_s/V_e = 10^{-1{,}5} \approx 0{,}0316$
Exemple 5 — Pression dynamique (BTP, ventilation)

La pression dynamique $p_d = \frac{1}{2}\rho v^2$ . Si $p_d = 20\;\text{Pa}$ et $\rho = 1{,}2\;\text{kg/m}^3$ :
$v^2 = 2 p_d / \rho = 2 \times 20 / 1{,}2 = 33{,}33$
$v = \sqrt{33{,}33} \approx 5{,}77\;\text{m/s}$

Réponse : La clé est d'identifier le type de transformation (racine, puissance, exponentielle, logarithme) et d'appliquer l'opération inverse des deux côtés de l'équation.

📐 Formules clés

Racine → carré :

\sqrt{x} = a \Rightarrow x = a^2

Puissance 2 → racine :

x^2 = a \Rightarrow x = \pm\sqrt{a}

Exp → ln :

e^x = a \Rightarrow x = \ln a

Ln → exp :

\ln x = a \Rightarrow x = e^a

Log10 → 10^ :

\log_{10} x = a \Rightarrow x = 10^a

Retrouver R :

Z = \sqrt{R^2+X^2} \Rightarrow R = \sqrt{Z^2-X^2}

Retrouver v :

E_c = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{2E_c/m}

🎨 Illustration

Fonctions réciproques

Symétrie entre

e^x

\ln x

par rapport à

y = x

Les courbes de $y = e^x$ et $y = \ln x$ sont le reflet exact l'une de l'autre par rapport à la droite $y = x$ (en pointillés) — la signature graphique de deux fonctions réciproques.

1 $e^x$ et $\ln x$ sont des fonctions réciproques : si $y = e^x$ alors $x = \ln y$ , et réciproquement. Leurs courbes sont donc symétriques par rapport à la droite $y = x$ .
2 Vérification numérique : $e^1 \approx 2{,}72$ (point $(1\,;\,2{,}72)$ sur $e^x$ ), et $\ln(2{,}72) \approx 1$ (point $(2{,}72\,;\,1)$ sur $\ln x$ ) — les deux points sont bien le reflet l'un de l'autre.
3 L'axe des abscisses ( $y=0$ ) est l'asymptote horizontale de $e^x$ quand $x \to -\infty$ . L'axe des ordonnées ( $x=0$ ) est l'asymptote verticale de $\ln x$ quand $x \to 0^+$ .

Ce qu'il faut lire : Pour tout point

(a\,;\,b)

situé sur la courbe de

e^x

, le point

(b\,;\,a)

se retrouve exactement sur la courbe de

\ln x

: c'est la définition graphique d'une fonction réciproque.

Symétrie de

e^x

\ln x

par rapport à

y=x

, avec le couple de points

(1\,;\,2{,}72)

(2{,}72\,;\,1)

recalculé et vérifié indépendamment.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Pièges fréquents

• Oublier d'isoler avant de transformer : si $\ln(x+1) = 3$ , c'est $x+1 = e^3$ , donc $x = e^3 - 1$ .

✅ La suggestion

On ne peut pas appliquer $e^{()}$ membre par membre à $\ln(x) + 1 = 3$ .

• Signe de la racine carrée : $x^2 = 9$ donne $x = \pm 3$ . En physique, on garde la solution positive (vitesse, résistance, longueur sont positives).

• Mettre au carré peut créer de fausses solutions : $\sqrt{x} = -2$ n'a pas de solution (racine toujours positive), mais si on met au carré des deux membres, on obtient $x = 4$ . Toujours vérifier la solution dans l'équation originale.

• $\ln(a-b) \neq \ln(a) - \ln(b)$ : rappel crucial. La propriété s'applique au quotient : $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ .

💡 À retenir

Pour inverser $\sqrt{x}$ : mettre au carré les deux membres
Pour inverser $e^x$ : prendre $\ln$ des deux membres
Pour inverser $\ln(x)$ : prendre $e^{()}$ des deux membres
Pour inverser $x^2$ : prendre $\sqrt{}$ des deux membres (vérifier le signe)
Dans les formules physiques : isoler le terme avec l'inconnue, puis appliquer la transformation inverse

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
De nombreuses formules en physique et en technique font intervenir des racines (impédance, énergie), des puissances (pression dynamique, énergie cinétique) ou des exponentielles (constantes de temps, décibels). Savoir les inverser est indispensable pour résoudre des problèmes de dimensionnement.

Mots-clés associés : équationracine carréepuissancelogarithmeexponentielleisolertransformationlnexp

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