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Lecture et Exploitation de Graphiques

Axes, échelles, interpolation linéaire, extrapolation

🔬 Application physique-chimie : En BTS technique, la lecture graphique est une compétence quotidienne : courbes caractéristiques de pompes, diagrammes enthalpiques, courbes de charge, caractéristiques de composants électroniques. Savoir lire, interpoler et extrapoler rigoureusement est indispensable pour le dimensionnement.

Un graphique est une représentation visuelle d'une relation entre deux grandeurs. En bureau d'études et sur le terrain, les techniciens utilisent constamment des abaques, des courbes de performance et des diagrammes. La lecture graphique précise est une compétence technique à part entière, distincte du calcul numérique.

📖 Vocabulaire clé

Anatomie d'un graphique : • Axe des abscisses (x) : grandeur indépendante (cause). Ex : débit, température, fréquence.
• Axe des ordonnées (y) : grandeur dépendante (effet). Ex : HMT, rendement, puissance.
• Échelle : graduation des axes. Elle peut être linéaire, logarithmique, ou semi-logarithmique.
• Légende : identification des courbes si plusieurs sont représentées.
• Titre et unités : indispensables pour donner un sens au graphique.

Interpolation linéaire : Si on connaît deux points

(x_1, y_1)

(x_2, y_2)

sur une courbe, on peut estimer la valeur

y

pour un

x

intermédiaire (

x_1 < x < x_2

) :

y = y_1 + \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \times (y_2 - y_1)

C'est l'équation de la droite passant par les deux points connus.

Pente d'une courbe (entre deux points) :

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \qquad \text{(même unité que } y/x\text{)}

Extrapolation : Estimer

y

pour un

x

en dehors de la plage connue

(x_1, x_2)

. C'est risqué : la tendance peut changer hors de la plage de mesure. Toujours signaler qu'on extrapole et indiquer les limites de validité.

Échelle logarithmique : Sur une échelle logarithmique, les graduations sont espacées en proportion de

\log(x)

. Une droite sur un graphe log-log correspond à une loi puissance :

y = a \cdot x^n

. Une droite sur un graphe semi-log (x lin, y log) correspond à une exponentielle.

Point de fonctionnement (courbe pompe / courbe réseau) : Une pompe est décrite par sa courbe caractéristique : HMT en fonction du débit

Q

, décroissante.

Le circuit qu'elle alimente est décrit par sa courbe de réseau : pertes de charge en fonction de

Q

, croissante (souvent en

Q^2

).

Le point de fonctionnement est l'intersection des deux courbes : c'est le seul couple

(Q, \text{HMT})

que l'installation peut réellement atteindre.

On le lit graphiquement, ou par interpolation entre les deux points qui encadrent le croisement.

📋 Méthode de lecture graphique précise

1 Identifier les axes, les unités et les échelles.
2 Repérer les graduations principales et secondaires.
3 Tracer mentalement (ou au crayon) des lignes de projection verticale et horizontale.
4 Lire la valeur à l'intersection avec l'axe correspondant.
5 Estimer l'incertitude de lecture (typiquement ±0,5 graduation).
6 Calcul de la pente : choisir deux points éloignés sur la droite (pas forcément des points de mesure) et lire leurs coordonnées $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ .
7 Calculer $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , puis vérifier l'unité : $[a] = [y]/[x]$ .

✅ Exemple résolu

Énoncé : Quatre applications de la lecture graphique dans des contextes techniques de BTS.

Démarche :

Exemple 1 — Courbe pompe Grundfos (hydraulique)

Une courbe de pompe donne les points suivants :

Q (m³/h) HMT (m)
0 48
5 45
10 38
15 27
20 10

Pour $Q = 12\;\text{m}^3/\text{h}$ (entre 10 et 15) :
$\text{HMT} = 38 + \frac{12 - 10}{15 - 10} \times (27 - 38) = 38 + \frac{2}{5} \times (-11) = 38 - 4{,}4 = 33{,}6\;\text{m}$
Exemple 2 — Diagramme de Moody (hydraulique)

Le diagramme de Moody permet de lire le coefficient de frottement $\lambda$ en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité relative. C'est un abaque en double échelle logarithmique. Pour $Re = 10^5$ et $\varepsilon/D = 10^{-3}$ , on lit graphiquement $\lambda \approx 0{,}021$ .
Exemple 3 — Courbe caractéristique d'une diode (électronique)

La caractéristique I(V) d'une diode est non linéaire. Pour estimer le courant à $V = 0{,}65\;\text{V}$ à partir des points $(0{,}60\;\text{V}, 10\;\text{mA})$ et $(0{,}70\;\text{V}, 80\;\text{mA})$ :
$I = 10 + \frac{0{,}65 - 0{,}60}{0{,}70 - 0{,}60} \times (80 - 10) = 10 + 0{,}5 \times 70 = 45\;\text{mA}$
(Approximation valable seulement si la variation est quasi-linéaire entre ces deux points.)
Exemple 4 — Diagramme enthalpique frigorigène (thermodynamique)

Dans le diagramme de Mollier (p-h), on lit :
• L'enthalpie à l'entrée du compresseur : $h_1$
• L'enthalpie à la sortie du compresseur : $h_2$
• L'enthalpie à l'entrée de l'évaporateur : $h_4$
La puissance frigorifique par kg de fluide : $q_f = h_1 - h_4$ (lu graphiquement).

Q (m³/h)	HMT (m)
0	48
5	45
10	38
15	27
20	10

Réponse : La lecture graphique rigoureuse repose sur la projection horizontale/verticale et, si besoin, l'interpolation linéaire entre deux points connus.

📐 Formules clés

Interpolation linéaire :

y = y_1 + \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \times (y_2 - y_1)

Pente d'une droite :

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad [a] = [y]/[x]

Équation d'une droite :

y = ax + b \quad (b = y_1 - a \cdot x_1)

Loi puissance (log-log) :

\log y = n \log x + \log a \Leftrightarrow y = a x^n

Loi exponentielle (semi-log) :

\ln y = bx + \ln a \Leftrightarrow y = a e^{bx}

🎨 Illustrations

Construction graphique

Interpoler un point entre deux valeurs connues

Deux points connus $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ sont reliés par une droite. La valeur intermédiaire se lit par simple projection sur cette droite, sans calcul si le graphique est précis.

1 Les deux points connus, A $(10\;;\,38)$ et B $(15\;;\,27)$ , sont ceux de l'exemple 1 (courbe pompe).
2 On projette verticalement depuis $Q = 12\;\text{m}^3/\text{h}$ jusqu'à la droite $AB$ , puis horizontalement jusqu'à l'axe des HMT : on lit $\text{HMT} \approx 33{,}6\;\text{m}$ .
3 C'est exactement la construction géométrique de la formule d'interpolation linéaire : $y = y_1 + \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}(y_2-y_1)$ .

Ce qu'il faut lire : Le point clair (cercle non rempli) sur la droite n'a jamais été mesuré : c'est la valeur estimée par interpolation, obtenue uniquement par construction graphique entre deux points réels.

Interpolation linéaire entre

Q_1 = 10

Q_2 = 15\;\text{m}^3/\text{h}

\text{HMT}(12) \approx 33{,}6\;\text{m}

Lecture guidée — abaque de pompe

Lire une valeur sur une vraie courbe, projection après projection

Voici l'exercice réel du technicien : une courbe constructeur graduée, et une question du type « quelle HMT disponible pour un débit de 12 m³/h ? ». La réponse se lit en deux projections, sans aucun calcul.

1 ① Partir de la donnée connue : on repère $Q = 12$ sur l'axe horizontal, entre les graduations 10 et 15. On monte verticalement jusqu'à toucher la courbe.
2 ② Basculer vers l'axe cherché : depuis le point d'intersection, on part horizontalement vers l'axe des ordonnées. On lit $\text{HMT} \approx 41$ m.
3 Annoncer l'incertitude : une graduation vaut ici 5 m ; une lecture soignée donne $41 \pm 1$ m. Écrire « 40,87 m » serait une fausse précision — le graphique ne la contient pas.

Ce qu'il faut lire : L'ordre des projections n'est jamais arbitraire : on part toujours de la grandeur imposée par l'énoncé (ici le débit demandé par l'installation) vers la grandeur cherchée (la hauteur que la pompe peut fournir).

Lecture en deux projections d'une courbe de pompe graduée : Q = 12 m³/h donne HMT ≈ 41 m.

Choisir son échelle

Pourquoi les abaques techniques sont en échelle logarithmique

Les mêmes données tracées de deux façons. À gauche, en échelle linéaire, les petites valeurs sont écrasées contre l'axe et illisibles. À droite, en semi-logarithmique, la loi devient une droite — et toutes les valeurs sont lisibles.

1 Le problème de l'échelle linéaire : quand les valeurs s'étalent sur plusieurs décades (de 2 à 2000), les petites sont indiscernables. Impossible de lire quoi que ce soit en dessous de 200.
2 Ce que fait l'axe logarithmique : il gradue en multiplications. L'écart entre 2 et 20 y occupe la même hauteur que celui entre 200 et 2000, parce que le rapport est le même (×10).
3 Le signal à reconnaître : une droite sur un semi-log (y log, x linéaire) trahit une loi exponentielle $y = a \cdot 10^{kx}$ . Une droite sur un log-log trahit une loi puissance $y = a \cdot x^n$ .

Ce qu'il faut lire : Quand un catalogue te présente une échelle logarithmique, ce n'est pas pour compliquer : c'est parce que la grandeur varie sur plusieurs décades. Vérifie toujours la nature de l'axe avant de lire une valeur intermédiaire — interpoler « au milieu » entre 200 et 2000 ne donne pas 1100 mais environ 630.

Une même loi exponentielle tracée en échelle linéaire puis semi-logarithmique : seule la seconde est exploitable.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Pièges fréquents

• Confondre la variable et la valeur lue : l'axe des x est la variable indépendante.

✅ La suggestion

Pour lire la valeur en y correspondant à un x donné, on projette verticalement sur la courbe, puis horizontalement sur l'axe y.

• Interpoler sur une courbe non linéaire : l'interpolation linéaire est une approximation. Plus les deux points sont éloignés sur une courbe courbée, plus l'erreur est grande.

• Extrapoler sans précaution : les performances d'une pompe en dehors de sa plage nominale sont inconnues. Le comportement peut être radicalement différent.

• Mal lire une échelle logarithmique : entre 10 et 100 sur un axe log, 50 n'est pas au milieu (il est à 70% du segment). Le milieu correspond à $\sqrt{10 \times 100} = \sqrt{1000} \approx 31{,}6$ .

💡 À retenir

Toujours vérifier les unités et l'échelle d'un graphique avant de lire
Interpolation : estimer entre deux points connus → formule $(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$
Extrapolation : estimer hors des points connus → prudence et signalement obligatoires
Pente : $a = \Delta y / \Delta x$ — unité = $[y]/[x]$
Échelle log : une droite correspond à une loi puissance ou exponentielle

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
En BTS technique, la lecture graphique est une compétence quotidienne : courbes caractéristiques de pompes, diagrammes enthalpiques, courbes de charge, caractéristiques de composants électroniques. Savoir lire, interpoler et extrapoler rigoureusement est indispensable pour le dimensionnement.

Mots-clés associés : graphiquecourbeinterpolationextrapolationpentelecture graphiqueaxesabaque

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