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Fonctions & Lecture Graphique

Fonctions affine, carré, inverse, racine — lire et exploiter une courbe technique

🔬 Application physique-chimie : Courbe pompe, caractéristique moteur, réseau hydraulique, diagramme
En BTS, les courbes sont partout : la courbe caractéristique d'une pompe (HMT en fonction du débit), la caractéristique couple/vitesse d'un moteur, le diagramme de Mollier, les abaques de pertes de charge…

Savoir lire une courbe — identifier les axes, lire une valeur, trouver une intersection — est une compétence aussi importante que savoir calculer. Et pour lire efficacement, il faut reconnaître la famille de fonctions qui génère cette courbe : droite (affine), parabole (carré), hyperbole (inverse), racine carrée…

Une fonction est une règle qui associe à chaque valeur de xx exactement une valeur de y=f(x)y = f(x).

📖 Vocabulaire clé

Fonction affine f(x)=ax+bf(x) = ax + b : Graphiquement, c'est une droite. aa est la pente (ou coefficient directeur) : si a>0a > 0 la droite monte, si a<0a < 0 elle descend. bb est l'ordonnée à l'origine (valeur de ff en x=0x = 0). Exemple : caractéristique d'un réseau hydraulique H=kQ+H0H = kQ + H_0 (perte de charge).
Fonction carré f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c : Graphiquement, c'est une parabole. Si a>0a > 0, elle est tournée vers le haut (minimum). Si a<0a < 0, vers le bas (maximum). Exemple : courbe de rendement d'une pompe, puissance d'une machine en fonction de la vitesse.
Fonction inverse f(x)=k/xf(x) = k/x : Graphiquement, c'est une hyperbole. Lorsque xx augmente, f(x)f(x) diminue. Exemple : résistance d'un câble R=ρL/SR = \rho L / S en fonction de la section SS pour LL et ρ\rho fixes.
Pente d'une droite : La pente a=Δy/Δx=(y2−y1)/(x2−x1)a = \Delta y / \Delta x = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1). Elle indique de combien yy varie quand xx augmente de 1. Positive → montée, négative → descente, nulle → droite horizontale.

📋 Lire un graphique technique

  1. 1 Identifier les axes : grandeur, unité, sens de variation, échelle (linéaire ou logarithmique).
  2. 2 Lire une valeur : tracer une verticale depuis l'abscisse cherchée jusqu'à la courbe, puis une horizontale vers l'axe des ordonnées. Lire avec la précision permise par l'échelle.
  3. 3 Trouver une intersection : point où deux courbes se croisent. C'est le point de fonctionnement d'un système (pompe + réseau, moteur + charge…). Lire les coordonnées (x,y)(x, y) de ce point.

✅ Exemple résolu

Énoncé : La caractéristique d'une pompe est Hp=−0,5Q2+12H_p = -0{,}5Q^2 + 12 (H en m, Q en m³/h). La courbe de réseau est Hr=0,3Q2+2H_r = 0{,}3Q^2 + 2. Trouver le point de fonctionnement graphiquement et algébriquement.
Démarche :
  1. Algébriquement : Hp=HrH_p = H_r → −0,5Q2+12=0,3Q2+2-0{,}5Q^2 + 12 = 0{,}3Q^2 + 2 → 10=0,8Q210 = 0{,}8Q^2 → Q2=12,5Q^2 = 12{,}5 → Q≈3,54Q \approx 3{,}54 m³/h.
  2. H=0,3×12,5+2=3,75+2=5,75H = 0{,}3 \times 12{,}5 + 2 = 3{,}75 + 2 = 5{,}75 m.
  3. Graphiquement : tracer les deux courbes, l'intersection donne le point de fonctionnement (3,54;5,75)(3{,}54 ; 5{,}75).
Réponse : Point de fonctionnement : Q≈3,54Q \approx 3{,}54 m³/h, H≈5,75H \approx 5{,}75 m CE.

📐 Formules clés

Droite : f(x)=ax+bf(x) = ax + b — pente a=Δy/Δxa = \Delta y / \Delta x, ordonnée à l'origine b=f(0)b = f(0)
Parabole : f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c — sommet en xs=−b/(2a)x_s = -b/(2a)
Hyperbole : f(x)=k/xf(x) = k/x — produit x⋅f(x)=kx \cdot f(x) = k constant
Racine : f(x)=xf(x) = \sqrt{x} — domaine x≥0x \geq 0, croissante, concave
Pente d'une droite passant par (x1,y1)(x_1, y_1) et (x2,y2)(x_2, y_2) : a=(y2−y1)/(x2−x1)a = (y_2-y_1)/(x_2-x_1)

🎨 Illustrations

Lecture graphique BTS
Lire un point de fonctionnement entre une pompe et son reseau

Une courbe de pompe decroit quand le debit augmente, alors que la courbe de reseau croise generalement vers le haut. Leur intersection donne le regime reel.

Point de fonctionnement d'une pompe Le graphique montre une courbe de pompe descendante, une courbe de reseau montante et leur intersection. Courbe pompe Courbe reseau P Qf Hf Q H 0 1 2 3 4 5 0 4 8 12 16
  • 1 La courbe pompe descend : plus le debit QQ augmente, plus la hauteur disponible HH diminue.
  • 2 La courbe reseau monte : il faut davantage de hauteur pour pousser un debit plus grand dans l'installation.
  • 3 Le point d'intersection PP est le point de fonctionnement. On y lit simultanement le debit reel QfQ_f et la hauteur reelle HfH_f.
Ce qu'il faut lire : Quand deux courbes techniques se croisent, on lit les deux coordonnees du point d'intersection. C'est souvent l'information la plus utile du graphe.
Exemple de lecture d'un point de fonctionnement sur un graphe de type pompe-reseau.
Les quatre allures de base
Reconnaître une fonction à la forme de sa courbe

En BTS, on identifie souvent une loi physique à l'œil, avant tout calcul : une droite, une courbe qui s'emballe, une courbe qui s'écrase ou une courbe qui plafonne ne racontent pas la même histoire technique.

Les quatre familles de fonctions de base Un repere unique portant quatre courbes : une droite affine croissante, une parabole en x au carre qui s'emballe, une hyperbole en un sur x qui decroit vers l'axe, et une racine carree qui monte vite puis s'aplatit. Une legende associe chaque allure a une loi technique typique. x y y = ax + b y = x² y = k/x y = √x Affine : chute de tension ΔU = R·I Carré : ΔP ∝ v² — Joule : P = R·I² Inverse : p·V = cste — Racine : Q ∝ √ΔP
  • 1 Droite (affine) : la variation est constante. Doubler xx double l'écart à l'ordonnée à l'origine. C'est le cas d'une chute de tension dans un câble.
  • 2 Parabole (x2x^2) : la variation s'accélère. Doubler la vitesse dans une conduite quadruple les pertes de charge — c'est pour ça qu'on surdimensionne les diamètres.
  • 3 Hyperbole (k/xk/x) : le produit reste constant. Doubler la pression divise le volume par deux, sans jamais atteindre zéro.
  • 4 Racine (x\sqrt{x}) : la variation s'essouffle. Quadrupler la pression différentielle ne double que le débit à travers un orifice.
Ce qu'il faut lire : Devant un relevé de mesures, commence toujours par regarder l'allure avant de chercher l'équation : elle te dit déjà si tu as affaire à une loi linéaire, quadratique, inverse ou en racine.
Les quatre allures de fonctions les plus fréquentes en BTS technique, avec la loi physique associée à chacune.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Confondre pente et ordonnée à l'origine : f(x)=3x+5f(x) = 3x + 5 a une pente de 3 (et non 5) et vaut 5 en x=0x = 0 (et non 3).

✅ La suggestion

La pente est le coefficient de xx, pas la constante.

💡 À retenir

  • La pente d'une droite mesure la vitesse de variation : une grande pente signifie une grande sensibilité.
  • Deux courbes s'intersectent en un point de fonctionnement : résoudre algébriquement f1(x)=f2(x)f_1(x) = f_2(x).
  • Sur un graphique technique, toujours lire les unités des axes avant tout — un débit en m³/h n'est pas un débit en L/s.
  • Un abaque est un graphique pré-calculé pour un cas standard. On y lit directement sans recalculer.

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Courbe pompe, caractéristique moteur, réseau hydraulique, diagramme

Mots-clés associés : FonctionGraphiqueAffinePenteCourbeAbaqueBTSPrérequis
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