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Trigonométrie

Sin, cos, tan — du triangle aux phénomènes alternatifs

🔬 Application physique-chimie : La trigonométrie est le langage commun de l'électricité alternative, de la mécanique des structures et de la topographie. Dès que l'on travaille avec des signaux AC, des pentes, des forces obliques ou des composantes, elle est incontournable.
En BTS technique, la trigonométrie n'est pas un exercice abstrait : c'est l'outil qui permet de calculer un angle de phase entre tension et courant en électrotechnique, une pente de canalisation en BTP, un effort sur un plan incliné en mécanique, ou encore la résolution vectorielle d'une force de traction.

Ce module couvre les trois fonctions essentielles dans le triangle rectangle, les valeurs remarquables à connaître de mémoire, et l'extension au cercle trigonométrique pour les angles quelconques (nécessaire pour les signaux sinusoïdaux).

📖 Vocabulaire clé

Le triangle rectangle : Dans un triangle rectangle, par rapport à un angle θ\theta (différent de 90°) :

sin⁡θ=coˆteˊ opposeˊhypoteˊnusecos⁡θ=coˆteˊ adjacenthypoteˊnusetan⁡θ=coˆteˊ opposeˊcoˆteˊ adjacent\sin\theta = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \cos\theta = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan\theta = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}

Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA (Sin = Opposé/Hypoténuse, Cos = Adjacent/Hypoténuse, Tan = Opposé/Adjacent).

Relation fondamentale (identité trigonométrique) : cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1
Degrés et radians : Les ingénieurs utilisent les deux systèmes. La conversion est :

θrad=θ°×π180θ°=θrad×180π\theta_{\text{rad}} = \theta_{°} \times \frac{\pi}{180} \qquad \theta_{°} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}

Un tour complet = 360° = 2π2\pi rad. Un angle droit = 90° = π2\dfrac{\pi}{2} rad.
Valeurs remarquables : Ces valeurs sont à connaître absolument :

Anglesin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
0°010
30°12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}13≈0,577\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577
45°22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}1
60°32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3≈1,732\sqrt{3} \approx 1{,}732
90°10indéfinie
Le cercle trigonométrique : Pour les angles supérieurs à 90° (signaux AC, rotations), on utilise le cercle de rayon 1 centré à l'origine. Un point sur ce cercle a pour coordonnées M=(cos⁡θ,  sin⁡θ)M = (\cos\theta,\; \sin\theta).

Les fonctions sin et cos sont périodiques de période 2π2\pi (360°). C'est la base de la représentation des signaux sinusoïdaux : u(t)=Umax⁡sin⁡(ωt+φ)u(t) = U_{\max} \sin(\omega t + \varphi).

📋 Résoudre un triangle rectangle

  1. 1 Identifier l'angle de référence θ\theta dans le triangle (l'angle dont on connaît la valeur ou qu'on cherche, différent de 90°).
  2. 2 Nommer les trois côtés par rapport à θ\theta : opposé (face à θ\theta), adjacent (touche θ\theta sans être l'hypoténuse), hypoténuse (face à l'angle droit, toujours le plus long).
  3. 3 Choisir la bonne fonction selon les éléments connus et inconnus : SOH si l'hypoténuse et l'opposé sont impliqués, CAH si l'hypoténuse et l'adjacent sont impliqués, TOA si les deux côtés non-hypoténuse sont impliqués.
  4. 4 Isoler l'inconnu algébriquement et calculer numériquement.
  5. 5 Pour trouver un angle inconnu à partir de deux côtés connus, utiliser les fonctions réciproques : arcsin⁡\arcsin, arccos⁡\arccos ou arctan⁡\arctan (notées sin⁡−1\sin^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1}, tan⁡−1\tan^{-1} sur les calculatrices).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Trois applications de la trigonométrie dans les filières BTS techniques.
Démarche :
  1. Exemple 1 — Électrotechnique (angle de phase)

    Un circuit RL présente une résistance R=60  ΩR = 60\;\Omega et une réactance XL=80  ΩX_L = 80\;\Omega.
    L'impédance vaut Z=R2+XL2=3600+6400=10000=100  ΩZ = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100\;\Omega.

    L'angle de déphasage est :
    φ=arctan⁡(XLR)=arctan⁡(8060)=arctan⁡(1,333)≈53,1°\varphi = \arctan\left(\frac{X_L}{R}\right) = \arctan\left(\frac{80}{60}\right) = \arctan(1{,}333) \approx 53{,}1°

    Vérification : cos⁡φ=RZ=60100=0,6\cos\varphi = \dfrac{R}{Z} = \dfrac{60}{100} = 0{,}6 → φ=arccos⁡(0,6)≈53,1°\varphi = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}1° ✓
  2. Exemple 2 — BTP (pente d'une canalisation)

    Une canalisation d'assainissement doit être posée avec une pente de 2 % sur une longueur horizontale de 25 m.

    L'angle par rapport à l'horizontale est :
    θ=arctan⁡(0,02)≈1,15°\theta = \arctan(0{,}02) \approx 1{,}15°

    La dénivellation verticale est :
    h=25×tan⁡(1,15°)=25×0,02=0,5  m=50  cmh = 25 \times \tan(1{,}15°) = 25 \times 0{,}02 = 0{,}5\;\text{m} = 50\;\text{cm}
  3. Exemple 3 — Mécanique (effort sur plan incliné)

    Une pièce de masse m=200  kgm = 200\;\text{kg} est posée sur un plan incliné à θ=30°\theta = 30°.
    Le poids P=mg=200×9,81=1962  NP = mg = 200 \times 9{,}81 = 1962\;\text{N}.

    Composante parallèle au plan (tend à faire glisser) : P//=Psin⁡30°=1962×0,5=981  NP_{//} = P\sin 30° = 1962 \times 0{,}5 = 981\;\text{N}
    Composante perpendiculaire (réaction normale) : P⊥=Pcos⁡30°=1962×0,866=1699  NP_\perp = P\cos 30° = 1962 \times 0{,}866 = 1699\;\text{N}
Réponse : La trigonométrie permet de passer d'une description angulaire à des composantes quantifiables. SOH-CAH-TOA et les fonctions réciproques arcsin, arccos, arctan sont les outils universels.

📐 Formules clés

SOH : sin⁡θ=opposeˊhypoteˊnuse\sin\theta = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}
CAH : cos⁡θ=adjacenthypoteˊnuse\cos\theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}
TOA : tan⁡θ=opposeˊadjacent=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
Identité fondamentale : cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1
Pythagore : a2+b2=c2(c=hypoteˊnuse)a^2 + b^2 = c^2 \quad (c=\text{hypoténuse})
Conversion °→rad : θrad=θ°×π180\theta_{\text{rad}} = \theta_{°} \times \dfrac{\pi}{180}
Signal sinusoïdal : u(t)=Umax⁡sin⁡(ωt+φ)u(t) = U_{\max}\sin(\omega t + \varphi)

🎨 Illustrations

Triangle rectangle
SOH-CAH-TOA appliqué à un cas concret : le circuit RL

Le même triangle abstrait décrit n'importe quelle situation BTS : ici, le déphasage φ d'un circuit RL est un angle comme un autre, avec sa propre hypoténuse et ses deux côtés.

Triangle rectangle SOH-CAH-TOA et triangle des impedances A gauche, triangle rectangle abstrait avec angle theta, cote oppose, cote adjacent et hypotenuse, et les formules sinus cosinus tangente. A droite, le meme triangle applique a un circuit RL avec R = 60 ohms, X_L = 80 ohms, Z = 100 ohms et phi environ 53,1 degres. SOH sin θ = opp / hyp CAH cos θ = adj / hyp TOA tan θ = opp / adj Cas général θ adjacent opposé hypoténuse Application : circuit RL φ R XL Z Exemple du cours — circuit RL : R = 60 Ω, X_L = 80 Ω Z = √(60² + 80²) = √10000 = 100 Ω φ = arctan(80/60) ≈ 53,1° (vérif. : cos φ = 60/100 = 0,6)
  • 1 Le côté adjacent à θ (ou φ) touche l'angle sans être l'hypoténuse ; le côté opposé ne touche jamais l'angle ; l'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit.
  • 2 Le triangle des impédances est exactement le même objet géométrique : RR joue le rôle de l'adjacent, XLX_L celui de l'opposé, ZZ celui de l'hypoténuse.
  • 3 Vérification indépendante : 602+802=3600+6400=10000=100260^2+80^2=3600+6400=10000=100^2 (Pythagore), et arctan⁡(80/60)=arctan⁡(1,333)≈53,1°\arctan(80/60)=\arctan(1{,}333)\approx 53{,}1° — cohérent avec arccos⁡(0,6)≈53,1°\arccos(0{,}6)\approx 53{,}1°.
Ce qu'il faut lire : Avant toute application (électrotechnique, BTP, mécanique), reviens à ce triangle générique : identifie l'angle droit, puis l'angle de référence, puis nomme les trois côtés.
Triangle SOH-CAH-TOA de référence et son application directe au calcul de déphasage d'un circuit RL (exemple du cours).
Cercle trigonométrique
Au-delà de 90° : cos et sin deviennent des coordonnées

Le triangle rectangle ne sait traiter que des angles entre 0° et 90°. Le cercle de rayon 1 lève cette limite : pour n'importe quel angle, cos⁡θ\cos\theta est l'abscisse du point MM et sin⁡θ\sin\theta son ordonnée. C'est ce qui rend possible la description des signaux alternatifs.

Cercle trigonometrique de rayon 1 Un cercle de rayon 1 centre sur l'origine d'un repere. Un point M place a environ 52 degres est relie au centre par un rayon. Sa projection sur l'axe horizontal donne cosinus theta, sa projection sur l'axe vertical donne sinus theta. Les quatre quadrants sont annotes avec les signes de cosinus et sinus, et les angles remarquables 0, 90, 180 et 270 degres sont reperes sur le cercle. M (cos θ ; sin θ) cos θ sin θ θ rayon = 1 0° / 360° 90° (π/2) 180° (π) 270° I : cos + / sin + II : cos − / sin + III : cos − / sin − IV : cos + / sin − x y
  • 1 La lecture change de nature : cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta ne sont plus des rapports de longueurs, mais les coordonnées du point MM sur le cercle de rayon 1.
  • 2 Le signe se lit directement : dans le quadrant II (angles entre 90° et 180°), le point est à gauche de l'axe vertical, donc cos⁡θ\cos\theta est négatif alors que sin⁡θ\sin\theta reste positif.
  • 3 Pythagore réapparaît : le rayon vaut 1, donc cos⁡2θ+sin⁡2θ=12=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1^2 = 1. L'identité fondamentale n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore appliqué à ce cercle.
Ce qu'il faut lire : Quand un exercice donne un angle supérieur à 90° (rotation d'arbre, phase d'un signal, position angulaire), abandonne le triangle et reviens au cercle : c'est le seul outil qui gère les signes correctement.
Cercle trigonométrique de rayon 1 : cos et sin lus comme coordonnées, avec le signe de chaque fonction par quadrant.
Électrotechnique — régime alternatif
Deux sinusoïdes déphasées : ce que φ signifie vraiment

En monophasé, la tension et le courant sont deux sinusoïdes de même fréquence mais décalées dans le temps. Ce décalage est le déphasage φ, et c'est lui qui apparaît dans P=UIcos⁡φP = U I \cos\varphi.

Tension et courant sinusoidaux dephases Deux courbes sinusoidales de meme periode tracees sur un axe des temps. La courbe de tension u de t atteint son maximum avant celle du courant i de t : le courant est en retard d'un angle phi de 60 degres, materialise par une double fleche entre les deux maximums. La periode T correspondant a 20 millisecondes est reperee sous l'axe. φ = 60° u(t) i(t) — en retard +U max − U max t T = 20 ms (50 Hz)
  • 1 Même période, origines différentes : les deux courbes bouclent en T=20T = 20 ms (50 Hz). Seul l'instant où elles passent par leur maximum diffère.
  • 2 φ est un angle, pas une durée : le décalage de 60° correspond à 60360×20≈3,3\dfrac{60}{360} \times 20 \approx 3{,}3 ms. On raisonne en angle parce que la conversion dépend de la fréquence.
  • 3 D'où vient cos⁡φ\cos\varphi : plus le décalage est grand, plus cos⁡φ\cos\varphi diminue, et moins la puissance active P=UIcos⁡φP = U I \cos\varphi est grande pour un même courant. Un cos⁡φ\cos\varphi dégradé fait circuler du courant qui ne produit aucun travail utile.
Ce qu'il faut lire : Retiens le lien entre les deux schémas : le triangle des impédances ci-dessus et ce décalage temporel décrivent le même angle φ. L'un est la vue géométrique, l'autre la vue temporelle.
Tension et courant sinusoïdaux de même fréquence, décalés de φ = 60° — la lecture temporelle du déphasage.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Pièges fréquents

• Degrés vs radians sur la calculatrice : vérifier systématiquement le mode.

✅ La suggestion

sin⁡(90)\sin(90) en radians ≠ sin⁡(90°)\sin(90°). En radians, sin⁡(π/2)=1\sin(\pi/2) = 1.

• Confondre opposé et adjacent : l'opposé est le côté en face de l'angle, l'adjacent est le côté qui "touche" l'angle (sans être l'hypoténuse).

• Arctan ne donne pas toujours l'angle voulu : arctan⁡\arctan renvoie une valeur entre -90° et 90°. Pour les angles dans d'autres quadrants, il faut analyser le signe des composantes.

• Pente en % ≠ angle : une pente de 100% correspond à 45°, pas à 90°. Pente % = tan⁡θ×100\tan\theta \times 100, donc θ=arctan⁡(pente/100)\theta = \arctan(\text{pente}/100).

💡 À retenir

  • SOH-CAH-TOA : le triptyque à ne jamais oublier
  • cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 : l'identité fondamentale (toujours vraie)
  • Valeurs clés : sin 30° = 0,5 — cos 60° = 0,5 — tan 45° = 1 — sin 90° = 1
  • Pour trouver un angle : utiliser arctan⁡\arctan, arcsin⁡\arcsin ou arccos⁡\arccos
  • Les signaux AC utilisent le cercle trigo : u(t)=Umax⁡sin⁡(ωt+φ)u(t) = U_{\max}\sin(\omega t + \varphi)

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
La trigonométrie est le langage commun de l'électricité alternative, de la mécanique des structures et de la topographie. Dès que l'on travaille avec des signaux AC, des pentes, des forces obliques ou des composantes, elle est incontournable.

Mots-clés associés : sinuscosinustangenteangletriangle rectanglehypoténusecercle trigonométriqueradiandéphasage
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