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Logarithmes & Exponentielles

ln, exp, décibels et cinétiques — comprendre les échelles

🔬 Application physique-chimie : Les fonctions logarithmique et exponentielle apparaissent dès qu'on mesure des niveaux sonores (décibels), des temps de charge/décharge (RC, RL), des réactions chimiques (ordre 1) ou des échangeurs thermiques. Ce sont des outils fondamentaux en physique appliquée.

Les fonctions logarithme et exponentielle sont complémentaires — l'une est l'inverse de l'autre. Elles apparaissent systématiquement lorsqu'une grandeur physique croît ou décroît proportionnellement à elle-même : charge d'un condensateur, désintégration radioactive, refroidissement d'un corps, réaction d'ordre 1 en chimie.

En BTS, vous les rencontrerez principalement sous deux formes : le logarithme décimal ( $\log_{10}$ ) pour les décibels et le pH, et le logarithme naturel ( $\ln$ ) pour les équations différentielles et les cinétiques.

📖 Vocabulaire clé

Rappels fondamentaux : La fonction exponentielle

e^x

(ou

\exp(x)

) est définie pour tout réel

x

. Sa base

e \approx 2{,}718

est appelée la constante de Neper.

Le logarithme naturel

\ln(x)

est la réciproque de

e^x

\ln(e^x) = x \qquad e^{\ln(x)} = x \qquad (x > 0)

Le logarithme décimal

\log_{10}(x)

(ou simplement

\log

) est la réciproque de

10^x

\log_{10}(10^x) = x \qquad 10^{\log_{10}(x)} = x

Relation entre les deux :

\ln(x) = \log_{10}(x) \times \ln(10) \approx 2{,}303 \times \log_{10}(x)

Propriétés algébriques (ln et log) :

\ln(a \times b) = \ln a + \ln b

\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b

\ln(a^n) = n \times \ln a

\ln(1) = 0 \qquad \ln(e) = 1

Propriétés de l'exponentielle :

e^{a+b} = e^a \times e^b \qquad e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} \qquad (e^a)^n = e^{na}

e^0 = 1 \qquad e^1 = e \approx 2{,}718 \qquad e^{-x} = \frac{1}{e^x}

Résoudre une équation avec ln ou exp : Si

e^x = k

→

x = \ln(k)

\ln(x) = k

→

x = e^k

a \cdot e^{bx} = c

→

e^{bx} = c/a

→

bx = \ln(c/a)

→

x = \ln(c/a)/b

📋 Applications clés : décibels et constante de temps

1 Le décibel est une unité logarithmique qui permet d'exprimer des rapports très grands sur une échelle comprimée.
Niveau de puissance : $L_P = 10 \times \log_{10}\left(\dfrac{P}{P_0}\right)\;\text{dB}$
Niveau de pression sonore : $L_p = 20 \times \log_{10}\left(\dfrac{p}{p_0}\right)\;\text{dB}$
(Le facteur 20 vient de $P \propto p^2$ , donc $\log(p^2/p_0^2) = 2\log(p/p_0)$ )
2 Valeurs repères en dB : +3 dB ≈ doubler la puissance — +6 dB ≈ doubler la pression — +10 dB ≈ multiplier par 10 la puissance perçue.
3 Constante de temps τ — systèmes RC et RL : la charge d'un condensateur suit $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau = RC$ ; la décharge suit $u_C(t) = U_0 \cdot e^{-t/\tau}$ .
À $t = \tau$ : $u_C \approx 0{,}632 \times E$ (63,2% de la valeur finale). À $t = 5\tau$ : régime permanent (>99%).

✅ Exemple résolu

Énoncé : Quatre applications de la fonction logarithme et de l'exponentielle dans des contextes techniques BTS.

Démarche :

Exemple 1 — Électrotechnique : atténuation en dB

Un filtre passe-bas atténue le signal d'un facteur 100 en tension. L'atténuation en dB est :
$L = 20 \times \log_{10}(100) = 20 \times 2 = 40\;\text{dB}$
Le signal de sortie est à -40 dB par rapport à l'entrée.
Exemple 2 — Chimie : constante de temps d'une réaction d'ordre 1

Une réaction de décomposition suit $[A](t) = [A]_0 \cdot e^{-kt}$ avec $k = 0{,}05\;\text{min}^{-1}$ .
Temps de demi-vie : $[A] = [A]_0 / 2 \Rightarrow e^{-kt_{1/2}} = 1/2 \Rightarrow -kt_{1/2} = -\ln 2$
$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} = \frac{0{,}693}{0{,}05} = 13{,}9\;\text{min}$
Exemple 3 — Thermique : NTU d'un échangeur

L'efficacité d'un échangeur à courant croisé suit : $\varepsilon = 1 - e^{-\text{NTU}}$ (formule simplifiée).
Si on souhaite $\varepsilon = 0{,}8$ :
$0{,}8 = 1 - e^{-\text{NTU}} \Rightarrow e^{-\text{NTU}} = 0{,}2 \Rightarrow -\text{NTU} = \ln(0{,}2) = -1{,}609$
$\text{NTU} = 1{,}61$
Exemple 4 — Acoustique industrielle : addition de sources sonores

Deux machines produisent chacune 80 dB. Le niveau combiné n'est pas 160 dB, mais :
$L_{\text{tot}} = 10\log_{10}(10^{8} + 10^{8}) = 10\log_{10}(2 \times 10^{8}) = 10(0{,}301 + 8) = 83\;\text{dB}$
Deux sources identiques ajoutent toujours +3 dB.

Réponse : Le logarithme comprime les très grands rapports en valeurs maniables ; l'exponentielle modélise tout phénomène dont la variation est proportionnelle à la valeur elle-même.

📐 Formules clés

Réciproque ln/exp :

e^{\ln x} = x \quad \text{et} \quad \ln(e^x) = x

Produit → somme :

\ln(ab) = \ln a + \ln b

Quotient → différence :

\ln(a/b) = \ln a - \ln b

Puissance :

\ln(a^n) = n\ln a

Décibel (puissance) :

L = 10\log_{10}(P/P_0)\;\text{dB}

Décibel (pression/tension) :

L = 20\log_{10}(V/V_0)\;\text{dB}

Charge condensateur :

u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = RC

Demi-vie :

t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k} \approx \dfrac{0{,}693}{k}

🎨 Illustrations

Régime transitoire RC

Charge d'un condensateur : la courbe exponentielle et ses repères

La tension $u(t)$ aux bornes du condensateur tend vers $E$ sans jamais l'atteindre exactement. Les repères $\tau$ , $2\tau$ et $5\tau$ situent l'avancement réel de la charge sur cette courbe.

1 À $t = \tau$ , la tension a déjà atteint $u(\tau) = E(1-e^{-1}) \approx 0{,}632\,E$ , soit 63,2 % de la valeur finale.
2 À $t = 2\tau$ , $u(2\tau) = E(1-e^{-2}) \approx 0{,}865\,E$ , soit 86,5 % — la progression ralentit nettement.
3 À $t = 5\tau$ , $u(5\tau) = E(1-e^{-5}) \approx 0{,}993\,E$ , soit 99,3 % : on considère alors le régime permanent atteint.

Ce qu'il faut lire : La courbe se rapproche de

E

de plus en plus lentement : chaque intervalle

\tau

supplémentaire ne comble qu'une fraction de l'écart restant, jamais la totalité.

Charge d'un condensateur RC :

u(t) = E\left(1-e^{-t/\tau}\right)

, avec les repères usuels

\tau

2\tau

5\tau

Acoustique & électronique — le décibel

Pourquoi +3 dB double la puissance

Le décibel est une échelle logarithmique : il ne mesure pas une grandeur, mais un rapport. C'est pour ça qu'additionner des décibels revient à multiplier des puissances — la propriété $\log(a \times b) = \log a + \log b$ en action.

1 La définition : $L = 10\log_{10}\left(\dfrac{P}{P_0}\right)$ . Le décibel compare toujours une puissance à une référence $P_0$ — sans référence, un « niveau en dB » ne veut rien dire.
2 +3 dB = ×2 : car $10\log_{10}(2) \approx 3{,}01$ . Deux machines identiques côte à côte font 3 dB de plus qu'une seule, pas le double de décibels.
3 +10 dB = ×10 : car $10\log_{10}(10) = 10$ . Passer de 60 à 90 dB, ce n'est pas « une fois et demie plus fort », c'est mille fois plus de puissance acoustique.
4 Conséquence réglementaire : le seuil de 85 dB déclenche l'obligation de protection auditive. Le franchir de 3 dB double l'énergie reçue par l'oreille, ce qui divise par deux la durée d'exposition admissible.

Ce qu'il faut lire : Chaque fois que tu vois une unité « en dB » (bruit, gain d'amplificateur, atténuation d'un câble), traduis-la mentalement en facteur multiplicatif : c'est la seule lecture qui a un sens physique.

L'échelle des décibels : équivalence entre addition de décibels et multiplication de puissances, appliquée aux niveaux sonores industriels.

Décroissance exponentielle

La demi-vie : toujours le même temps pour diviser par deux

Une décroissance exponentielle $N(t) = N_0 \cdot e^{-t/\tau}$ a une propriété contre-intuitive : le temps nécessaire pour diviser la quantité par deux est constant, quel que soit le point de départ.

1 La demi-vie se calcule avec un logarithme : on cherche $t$ tel que $e^{-t/\tau} = 0{,}5$ , d'où $t_{1/2} = \tau \cdot \ln 2 \approx 0{,}693\,\tau$ .
2 Elle ne dépend pas du point de départ : passer de $N_0$ à $N_0/2$ prend exactement le même temps que passer de $N_0/2$ à $N_0/4$ . C'est la signature d'une décroissance exponentielle.
3 Zéro n'est jamais atteint : mathématiquement la courbe tend vers l'axe sans le toucher. En pratique, on considère le phénomène terminé après $5\tau$ (il reste moins de 1 %).
4 Où ça sert en BTS : décharge d'un condensateur, refroidissement d'une pièce, atténuation d'un signal le long d'une fibre, dégradation d'un produit — même équation à chaque fois.

Ce qu'il faut lire : Le réflexe : si un relevé montre que la grandeur est divisée par le même facteur à intervalles de temps égaux, tu tiens une exponentielle — et le logarithme est l'outil qui la linéarise.

Décroissance exponentielle : la demi-vie

t_{1/2} = \tau \ln 2

est constante, quel que soit le niveau de départ.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Pièges fréquents

• $\ln$ vs $\log$ : sur les calculatrices, "log" est souvent $\log_{10}$ et "ln" est le logarithme naturel.

✅ La suggestion

Ne pas les confondre.

• $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$ : la propriété s'applique au produit, pas à la somme.

• $\ln(0)$ n'existe pas (domaine = $x > 0$ strictement).

• Additionner des décibels : on ne peut pas additionner des dB directement comme des nombres. Deux sources de 80 dB ne font pas 160 dB mais 83 dB.

• Signe de $\ln$ : $\ln(x) < 0$ si $0 < x < 1$ , et $\ln(x) > 0$ si $x > 1$ . $\ln(1) = 0$ .

💡 À retenir

$\ln$ et $\exp$ sont inverses l'une de l'autre : $e^{\ln x} = x$
Propriétés : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ — $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ — $\ln(a^n) = n\ln a$
Décibels : $L = 10\log(P/P_0)$ pour les puissances, $20\log(V/V_0)$ pour les tensions
+3 dB ≈ doubler la puissance — +10 dB ≈ ×10 la puissance perçue
Constante de temps : à $t = \tau$ , on atteint 63% de la valeur finale — à $5\tau$ , régime permanent
Demi-vie : $t_{1/2} = \ln 2 / k \approx 0{,}693/k$

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
Les fonctions logarithmique et exponentielle apparaissent dès qu'on mesure des niveaux sonores (décibels), des temps de charge/décharge (RC, RL), des réactions chimiques (ordre 1) ou des échangeurs thermiques. Ce sont des outils fondamentaux en physique appliquée.

Mots-clés associés : logarithmeexponentielledécibellnexpconstante de tempsbase 10pHcinétique

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