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Vecteurs & Géométrie

Coordonnées, norme, addition, produit scalaire

🔬 Application physique-chimie : En mécanique, électromagnétisme et thermique, les grandeurs physiques ont une direction et un sens : force, vitesse, champ électrique, déplacement. Le calcul vectoriel est l'outil qui permet de combiner ces grandeurs rigoureusement.
Un vecteur est une grandeur définie par trois informations : sa direction, son sens et sa valeur (ou norme). En BTS technique, on travaille principalement en 2D (plan) et parfois en 3D.

Exemples concrets : la force exercée par un câble de levage, la vitesse d'un fluide dans une canalisation, le champ électrique créé par un conducteur, la poussée d'Archimède sur un sous-marin.

📖 Vocabulaire clé

Représentation d'un vecteur : Un vecteur u⃗\vec{u} dans le plan est défini par ses composantes dans un repère orthonormé (O,x⃗,y⃗)(O, \vec{x}, \vec{y}) :

u⃗=(uxuy)=ux x⃗+uy y⃗\vec{u} = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} = u_x\,\vec{x} + u_y\,\vec{y}

La norme (ou module) du vecteur est sa longueur :
∥u⃗∥=ux2+uy2\|\vec{u}\| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}

L'angle par rapport à l'axe horizontal : θ=arctan⁡(uyux)\theta = \arctan\left(\dfrac{u_y}{u_x}\right)
Opérations sur les vecteurs : Addition (résultante) :
u⃗+v⃗=(ux+vxuy+vy)\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_x + v_x \\ u_y + v_y \end{pmatrix}

Multiplication par un scalaire :
k u⃗=(k uxk uy)k\,\vec{u} = \begin{pmatrix} k\,u_x \\ k\,u_y \end{pmatrix}

Vecteur opposé : −u⃗=(−ux−uy)-\vec{u} = \begin{pmatrix} -u_x \\ -u_y \end{pmatrix}
Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est un nombre (pas un vecteur) :

u⃗⋅v⃗=uxvx+uyvy=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta

où θ\theta est l'angle entre les deux vecteurs.

Propriétés utiles :
• Si u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 → les vecteurs sont perpendiculaires
• Si u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| → ils sont colinéaires et de même sens

📋 Méthode de calcul vectoriel appliqué

  1. 1 Décomposer une force en composantes : une force d'intensité FF faisant un angle θ\theta avec l'horizontale se décompose en composante horizontale Fx=Fcos⁡θF_x = F\cos\theta et composante verticale Fy=Fsin⁡θF_y = F\sin\theta.
  2. 2 Calculer la résultante de plusieurs forces :
    (1) Décomposer chaque force en composantes (Fx,i, Fy,i)(F_{x,i},\, F_{y,i})
    (2) Additionner : Rx=∑Fx,iR_x = \sum F_{x,i}, Ry=∑Fy,iR_y = \sum F_{y,i}
    (3) Calculer la norme : R=Rx2+Ry2R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}
    (4) Calculer l'orientation : α=arctan⁡(Ry/Rx)\alpha = \arctan(R_y / R_x)
  3. 3 Travail d'une force (produit scalaire appliqué) : le travail de F⃗\vec{F} lors du déplacement d⃗\vec{d} est :
    W=F⃗⋅d⃗=F×d×cos⁡θW = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \times d \times \cos\theta
    où θ\theta est l'angle entre la force et la direction du déplacement.

✅ Exemple résolu

Énoncé : Trois applications du calcul vectoriel dans les filières BTS techniques.
Démarche :
  1. Exemple 1 — Mécanique : résultante de deux câbles

    Deux câbles soutiennent une charge. Câble 1 : F1=800  NF_1 = 800\;\text{N} à 60° de l'horizontal. Câble 2 : F2=600  NF_2 = 600\;\text{N} à 120° de l'horizontal.

    Composantes :
    F1x=800cos⁡60°=400  NF_{1x} = 800\cos 60° = 400\;\text{N} ; F1y=800sin⁡60°=693  NF_{1y} = 800\sin 60° = 693\;\text{N}
    F2x=600cos⁡120°=−300  NF_{2x} = 600\cos 120° = -300\;\text{N} ; F2y=600sin⁡120°=520  NF_{2y} = 600\sin 120° = 520\;\text{N}

    Résultante :
    Rx=400+(−300)=100  NR_x = 400 + (-300) = 100\;\text{N} ; Ry=693+520=1213  NR_y = 693 + 520 = 1213\;\text{N}
    R=1002+12132≈1217  NR = \sqrt{100^2 + 1213^2} \approx 1217\;\text{N} à α=arctan⁡(1213/100)≈85,3°\alpha = \arctan(1213/100) \approx 85{,}3° de l'horizontal
  2. Exemple 2 — Électrotechnique : champ électrique résultant

    Deux charges créent des champs E1⃗=(300,  0)\vec{E_1} = (300,\; 0) V/m et E2⃗=(0,  400)\vec{E_2} = (0,\; 400) V/m en un point P.

    Champ résultant : E⃗=(300,  400)\vec{E} = (300,\; 400) V/m
    Norme : E=3002+4002=250000=500  V/mE = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{250000} = 500\;\text{V/m}
  3. Exemple 3 — Mécanique des fluides : poussée d'Archimède

    Un réservoir est immergé. La poussée d'Archimède Π⃗\vec{\Pi} est verticale vers le haut. Le poids P⃗\vec{P} est vertical vers le bas. Ces deux vecteurs sont colinéaires et opposés.

    Π⃗⋅P⃗=Π×P×cos⁡(180°)=−Π×P\vec{\Pi} \cdot \vec{P} = \Pi \times P \times \cos(180°) = -\Pi \times P
    Si Π>P\Pi > P, le flotteur monte ; si Π<P\Pi < P, il coule.
Réponse : Le calcul vectoriel transforme tout problème de forces orientées en additions algébriques de composantes. La clé : décomposer, additionner composante par composante, puis reconstruire norme et angle.

📐 Formules clés

Norme : ∥u⃗∥=ux2+uy2\|\vec{u}\| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}
Addition : u⃗+v⃗=(ux+vx,  uy+vy)\vec{u} + \vec{v} = (u_x+v_x,\; u_y+v_y)
Produit scalaire (composantes) : u⃗⋅v⃗=uxvx+uyvy\vec{u}\cdot\vec{v} = u_x v_x + u_y v_y
Produit scalaire (géométrique) : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta
Angle entre deux vecteurs : cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}
Décomposition d'une force : Fx=Fcos⁡θ,Fy=Fsin⁡θF_x = F\cos\theta, \quad F_y = F\sin\theta
Travail d'une force : W=F⃗⋅d⃗=F dcos⁡θ  (J)W = \vec{F}\cdot\vec{d} = F\,d\cos\theta\;\text{(J)}

🎨 Illustrations

Décomposition d'un vecteur force
Comment décomposer une force selon ses deux axes ?

Un vecteur force F⃗\vec{F} se décompose en une composante horizontale FxF_x et une composante verticale FyF_y, à l'aide de l'angle θ\theta qu'il forme avec l'axe horizontal : Fx=Fcos⁡θF_x = F\cos\theta et Fy=Fsin⁡θF_y = F\sin\theta.

Reprend exactement le câble 1 de l'exemple 1 du cours : F1=800F_1 = 800 N à θ=60°\theta = 60° de l'horizontale.

Décomposition d'une force en composantes horizontale et verticale Un vecteur force de 800 newtons incline a 60 degres de l'horizontale est trace depuis l'origine ; des pointilles projettent son extremite sur l'axe horizontal, ou l'on lit la composante Fx de 400 newtons, et sur l'axe vertical, ou l'on lit la composante Fy d'environ 693 newtons, formant un rectangle dont la diagonale est le vecteur F. x y O Fx = 400 N Fy = 693 N F = 800 N θ ≈ 60° Vérification : F = √(Fx² + Fy²) ≈ √(400² + 693²) ≈ 800 N
  • 1 La composante horizontale se lit en projetant l'extrémité du vecteur sur l'axe des xx : Fx=Fcos⁡θ=800×cos⁡60°=400F_x = F\cos\theta = 800 \times \cos 60° = 400 N.
  • 2 La composante verticale se lit en projetant l'extrémité du vecteur sur l'axe des yy : Fy=Fsin⁡θ=800×sin⁡60°≈692,8F_y = F\sin\theta = 800 \times \sin 60° \approx 692{,}8 N, arrondi à 693693 N.
  • 3 On retrouve la norme du vecteur avec le théorème de Pythagore : F=Fx2+Fy2=4002+692,82≈800F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{400^2 + 692{,}8^2} \approx 800 N — cohérent avec la valeur de départ.
Ce qu'il faut lire : Le vecteur F⃗\vec{F} est la diagonale du rectangle formé par ses deux projections : FxF_x sur l'axe horizontal et FyF_y sur l'axe vertical. L'angle θ\theta se lit entre le vecteur et l'axe horizontal.
Décomposition du vecteur force F1⃗=800\vec{F_1} = 800 N à θ=60°\theta = 60° (câble 1 de l'exemple 1 du cours) en ses composantes Fx=400F_x = 400 N et Fy≈693F_y \approx 693 N.
Somme de deux forces
Deux méthodes, une seule résultante

Additionner deux vecteurs se fait de deux façons équivalentes : la règle du parallélogramme (les deux forces partent du même point) et la mise bout à bout (relation de Chasles). Les deux donnent exactement le même vecteur résultant.

Somme de deux vecteurs : parallelogramme et mise bout a bout A gauche, deux vecteurs force partant du meme point O forment un parallelogramme dont la diagonale est la resultante R. A droite, les deux memes vecteurs sont places bout a bout : l'extremite du second donne le meme point d'arrivee, donc la meme resultante. Règle du parallélogramme O F₁ F₂ R Bout à bout (Chasles) O F₁ F₂ R En composantes, la règle est la même dans les deux cas : Rx = F₁x + F₂x et Ry = F₁y + F₂y
  • 1 Le calcul est indépendant du dessin : quelle que soit la méthode graphique, on additionne composante par composante. C'est toujours la voie la plus sûre en examen.
  • 2 La norme ne s'additionne PAS : ∥R⃗∥≠∥F1⃗∥+∥F2⃗∥\|\vec{R}\| \neq \|\vec{F_1}\| + \|\vec{F_2}\|, sauf si les deux vecteurs sont colinéaires et de même sens. Deux forces de 100 N à 90° donnent ∥R⃗∥=1002≈141\|\vec{R}\| = 100\sqrt{2} \approx 141 N, pas 200 N.
  • 3 Puis on revient aux polaires : ∥R⃗∥=Rx2+Ry2\|\vec{R}\| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} et θ=arctan⁡(RyRx)\theta = \arctan\left(\dfrac{R_y}{R_x}\right) — c'est le chemin inverse de la décomposition du schéma précédent.
Ce qu'il faut lire : Le parallélogramme sert à comprendre et à vérifier l'ordre de grandeur ; le calcul en composantes sert à répondre. Fais toujours les deux : le dessin détecte les erreurs de signe que le calcul laisse passer.
Les deux constructions graphiques de la somme vectorielle, et la règle de calcul en composantes qu'elles traduisent.
Statique — condition d'équilibre
Trois forces en équilibre : le triangle se referme

Un solide est en équilibre quand ∑F⃗=0⃗\sum \vec{F} = \vec{0}. Graphiquement, cela a une signature imparable : mises bout à bout, les forces forment un polygone fermé — on revient exactement au point de départ.

Equilibre de trois forces et triangle des forces ferme A gauche, une charge suspendue a deux cables : les tensions T1 et T2 montent en oblique et le poids P descend a la verticale. A droite, les trois memes vecteurs places bout a bout referment exactement un triangle, ce qui traduit la condition somme des forces egale zero. La situation réelle T₁ T₂ P = mg Le triangle des forces T₁ T₂ P départ = arrivée Σ Fx = 0 et Σ Fy = 0 ⟺ le polygone des forces est fermé
  • 1 Deux équations, pas une : l'équilibre impose ∑Fx=0\sum F_x = 0 et ∑Fy=0\sum F_y = 0. Deux équations permettent de trouver deux inconnues — typiquement les deux tensions de câbles.
  • 2 Le poids est toujours vertical vers le bas : P⃗=(0 ; −mg)\vec{P} = (0\,;\, -mg). C'est la seule force dont on connaît la direction sans réfléchir, et donc le meilleur point de départ.
  • 3 Contrôle graphique gratuit : si ton triangle ne se referme pas quand tu reportes tes résultats à l'échelle, tu as une erreur de signe ou d'angle. Ce test attrape la majorité des fautes de statique.
Ce qu'il faut lire : Le triangle fermé n'est pas une figure décorative : c'est la traduction graphique exacte de ∑F⃗=0⃗\sum \vec{F} = \vec{0}. Un polygone ouvert signifie qu'il reste une résultante, donc que le solide accélère.
Équilibre d'une charge suspendue à deux câbles, et le triangle des forces fermé qui traduit ∑F⃗=0⃗\sum \vec{F} = \vec{0}.

❌ Une erreur, une suggestion

❌ L'erreur fréquente

Pièges fréquents

• Additionner des normes : ∥F1⃗+F2⃗∥≠∥F1⃗∥+∥F2⃗∥\|\vec{F_1} + \vec{F_2}\| \neq \|\vec{F_1}\| + \|\vec{F_2}\| en général.

✅ La suggestion

On additionne les composantes, pas les normes.

• Signe des composantes : attention au quadrant. Un vecteur orienté à 150° de l'horizontal a Fx=Fcos⁡(150°)<0F_x = F\cos(150°) < 0.

• Produit scalaire ≠ produit de normes : u⃗⋅v⃗=∥u∥∥v∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v} = \|u\|\|v\|\cos\theta, pas ∥u∥∥v∥\|u\|\|v\|.

• Unités : le produit scalaire de deux forces (N·N) n'est pas une force. Le travail (N·m = J) est bien un scalaire avec une unité.

💡 À retenir

  • Un vecteur a une direction, un sens et une norme
  • Norme : ∥u⃗∥=ux2+uy2\|\vec{u}\| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}
  • Addition composante par composante
  • Produit scalaire : u⃗⋅v⃗=uxvx+uyvy=∥u∥∥v∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v} = u_x v_x + u_y v_y = \|u\|\|v\|\cos\theta
  • u⃗⊥v⃗\vec{u}\perp\vec{v} ↔ u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v} = 0
  • Décomposition d'une force en Fcos⁡θF\cos\theta et Fsin⁡θF\sin\theta

🔬 Application physique-chimie

Où cette notion est-elle utilisée ?
En mécanique, électromagnétisme et thermique, les grandeurs physiques ont une direction et un sens : force, vitesse, champ électrique, déplacement. Le calcul vectoriel est l'outil qui permet de combiner ces grandeurs rigoureusement.

Mots-clés associés : vecteurnormeproduit scalairecomposantesrésultanteforceprojectionangle entre vecteurs
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